Теорія:

Раціональні числа — це числа виду mn , де m - це число, а n - натуральне число.
Множину раціональних чисел прийнято позначати буквою .
 
Виконується співвідношення  , оскільки будь-яке число \(m\) можна представити у вигляді m1.
Отже, можна сказати, що
раціональні числа — це всі цілі числа, а також додатні та від'ємні звичайні дроби.
 
Будь-яка десяткова дріб як окремий випадок звичайного дробу теж є раціональним числом.
Для раціональних чисел окрім вказаного вище запису mn можна використовувати інший вид запису, який розглянутий нижче.
Розглянемо ціле число \(7\), звичайний дріб 511 та десятковий дріб \(4,244\). Ціле число \(7\) можна записати в вигляді нескінченного десяткового дробу \(7,0000...\) .
Десятковий дріб \(4,244\) також можна записати в вигляді нескінченного десяткового дробу \(4,244000...\) .
Для числа 511  - скористаємося методом "ділення кутом":
 
ugol1.png
Як бачите, після коми відбувається повторення однієї і тієї ж групи цифр: \(45, 45, 45\), .... Таким чином, 511 \(= 0,454545...\).
Коротше це записують так: \(0,(45)\).
Групу цифр після коми, що повторюється,  називають періодом, а сам десятковий дріб —  нескінченним десятковим періодичним дробом.
  
Число \(7\) також можна представити у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\):
\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).

Так само йде справа і з числом \(4,244\):

\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).

Щоб усе було акуратно, кажуть так: \(4,244\) — кінцевий десятковий дріб, а \(4,244000...\) — нескінченний десятковий дріб.

Взагалі будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Вірно і зворотне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна представити у вигляді звичайного дробу.

Приклад:

Приклад:

Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний десятковий періодичний дріб

а) \(1,(47)\)      б) \(1,3(47)\).

Розв'язок
а) Нехай \(x  = 1,(47)\), т. е. x = \(1,474747...\) .
Помножимо \(x\) на таке число, щоб кома пересунулася управо рівно на один період. Оскільки в періоді містяться дві цифри, потрібно, щоб кома пересунулася управо на дві цифри, а для цього число \(x\) треба помножити на \(100\). Отримаємо:
\(100x = 147,474747...\) .
Отже,
_ \(100x = 147,474747...  \)
           \( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
 \(99x = 146\)
\( x=\)14699.
Тож, \( 1,(47) =\) 14699 \(= 1\) 4799.
 
б) Нехай \( x = 1,3(47) = 1,3474747... \). Спочатку помножимо \(x\) на \(10\), щоб в отриманому добутку період починався одразу після коми: \(10x = 13,474747...\). Тепер число \(10x\) помножимо на \(100\) — тоді кома зміститься рівно на один період вправо:
\(1000x = 1347,474747...\) .
Маємо:
_\(1000x = 1347,474747...\)
       \(10x = 13,474747... \)
__________________________
  \( 990x = 1334\);
\(x =\) 1334990 \(=\) 667495 \(= 1\) 172495.
Джерела:
Мордкович А.Г.Алгебра та початок аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.