Теорія:

Перетворення виразу  A sin xB cos x до виду Csin(x+t)
На практиці, наприклад при вивченні коливань, досить часто зустрічаються вирази виду  A sin xB cos x, причому виникає необхідність звести цю суму до однієї тригонометричної функції.
 
Розглянемо для прикладу вираз 3sinx+cosx. Якщо переписати даний вираз у вигляді 232sinx+12cosx и врахувати, що 32=cosπ6,12=sinπ6, то можна помітити, що вираз в дужках являє собою праву частину формули "синус суми" для аргументів \(x\) і π6.
Таким чином, 232sinx+12cosx=2cosπ6sinx+sinπ6cosx=2sinx+π6.
Отже, 3sinx+cosx=2sinx+π6.
 
Вираз виду  A sin xB cos x (для випадку, коли A=3,B=1) ми перетворили до виду Csin(x+t).
Точніше, у нас вийшло, що \(C=2\), t=π6.
 
Зверни увагу!
Що C=A2+B2. Насправді A2+B2=32+12=4=22=C2.
 
Виявляється, це невипадково - на подібній ідеї засноване перетворення будь-якого виразу  A sin xB cos x.
 
Введемо позначення: C=A2+B2. Зауважимо, що AC2+BC2=1.
Насправді, AC2+BC2=A2C2+B2C2=A2+B2C2=C2C2=1.
 
Це означає, що пара чисел - AC, BC задовольняє рівняння x2+y2=1, тобто точка з координатами AC;BC лежить на числовому колу. Але тоді AC є косинус, а BC - синус деякого аргументу \(t\), тобто AC=cost,BC=sint.
 
Враховуючи все це, попрацюємо з виразом  A sin xB cos x:
Asinx+ Bcosx=CACsinx+BCcosx=Ccostsinx+sintcosx=Csinx+t.
Отже, Asinx+ Bcosx=Csinx+t, де C=A2+B2.
Зазвичай аргумент \(t\) називають допоміжним аргументом.
Джерела: