Теорія:

Перед тим, як почати докладне ознайомлення з формулами перетворення тригонометричних виразів пояснимо, для чого взагалі потрібні перетворення тригонометричних виразів.
 
Справа в тому, що дуже часто тригонометричні вирази навіть самого "страхітливого" виду після нескладних перетворень досить легко приводяться до виразів з табличним значенням аргументу - таким, наприклад, як: 30°(π6),45°(π4),60°(π3)  ...або до таких виразів, рішення яких знайти набагато простіше, ніж рішення вихідного тригонометричного виразу. 
 
У цьому і полягає основна мета перетворення тригонометричних виразів - привести заданий вираз до такого виду, щоб знайти його рішення було простіше.
 
А засобом для досягнення цієї мети - її "інструментом" - і є формули перетворення тригонометричних виразів,
знайомство з якими ми почнемо з вивчення найбільш важливих з них - формул синуса і косинуса суми аргументів.
 
Саме ці формули вважаються основними і найбільш важливими формулами перетворення тригонометричних виразів, оскільки з цих формул без особливих зусиль виводяться практично всі фомули тригонометрії.
 
Доказ самих формул синуса і косинуса суми аргументів технічно досить складний і він не входить в базовий курс навчання. 
 
Примітка. Для стислості та спрощення надалі виключимо слово "аргументів" з назв формул - це загальноприйнята практика - і кажучи про формули синуса або косинуса суми (різниці) будемо розуміти, що це формули синуса або косинуса суми (різниці)  аргументів  цих функцій. 
 
Формула синуса сумиsin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny        (1)
 
Формула косинуса суми:  cos(x+y)=cosxcosysinxsiny       (2)
 
Розглянемо тепер вираз sin(xy)  в такому вигляді   sin(x+(y)) і скористаємося формулою синуса суми (1) : sin(x+(y))=sinxcos(y)+cosxsin(y).
 
Тепер згадаємо про властивість парності функції косинусcos(y)=cosy
і властивості непарності функції синус:   sin(y)=siny.
 
Тоді :
sin(x+(y))=sinxcos(y)+cosxsin(y)=sinxcosycosxsiny
 
Формула синуса різниціsin(xy)=sinxcosycosxsiny    (3)
Аналогично, представивши cos(xy) в вигляді  cos(x+(y)), скористаємося формулою косинуса суми (2) 
і властивостями парності функції косинусcos(y)=cosy
і непарності функції синус:   sin(y)=siny
 
Тоді отримаємо:
cos(x+(y))=cosxcos(y)sinxsin(y)=cosxcosy+sinxsiny
 
Формула косинуса різниціcos(xy)=cosxcosy+sinxsiny   (4)
Джерела: