Теорія:

Одними з основних і найбільш часто використовуваних формул перетворення тригонометричних виразів є \(формули тангенса суми і різниці аргументів\).
Вони встановлюють співвідношення між \(тангенсом загальної суми або різниці аргументів\) і \(тангенсами окремих аргументів - доданків\).
 
При всіх допустимих значеннях аргументів справедливі формули:
   \(тангенса суми аргументів\) :          tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ  (1)
 
   \(тангенса різниці аргументів\) :      tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ  (2)
Обмовка про допустимі значеннях аргументів означає, що всі тангенси мають сенс, тобто виконуються умови:
 
απ2+πk,βπ2+πnk,n
α+βπ2+πm,m  для формули (1), αβπ2+πm,m  для формули (2),
 
Ці формули дуже важливі і широко застосовуються не лише в математиці, але і у фізиці - особливо, в радіотехніці.
 
Виведення формул природним чином виходить з визначення \(функції тангенс\) і використання вже відомих формул \(синуса і косинуса суми і різниці аргументів\).
 
Доведемо формулу \(тангенса суми аргументів\). Маємо:
 
 tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ
 
Розділимо кожний з доданків чисельника і знаменника на cosαcosβ,
враховуючи, що значення дробу від цього не зміниться і, що cosαcosβ0 з прийнятих вище умов
для допустимих значень аргументів, тобто απ2+πk,βπ2+πnk,n. Тоді:
 
tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=tgα+tgβ1tgαtgβ,
що і треба було довести.
 
Аналогічно доводиться формула \(тангенса різниці аргументів\) :
 
tg(αβ)=sin(αβ)cos(αβ)=sinαcosβcosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβcosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ=tgαtgβ1+tgαtgβ.
 
 
Джерела: