Теорія:

Розглянемо нескінченну геометричну прогресіюю b1,b2,b3,...,bn,....

Обчислимо суми двох, трьох, чотирьох і т.д. членів прогресії:

S1=b1S2=b1+b2S3=b1+b2+b3...Sn=b1+b2+b3+...+bn...

Вийшла послідовність S1,S2,S3,...,Sn,....

Як будь-яка числова послідовність, вона може сходитися чи розходитися.

Якщо послідовність Sn сходиться до границі S, то число S називають сумою геометричної прогресії (зверніть увагу: не сумою n членів геометричної прогресії, а сумою геометричної прогресії).

Якщо ж ця послідовність розходиться, то про суму геометричної прогресії не говорять, хоча про суму перших n членів геометричної прогресії можна, зрозуміло, говорити і в цьому випадку.

Формула суми перших n членів геометричної прогресії:

якщо Sn=b1+b2+...+bn, то Sn=bn(qn1)q1.

Якщо знаменник q геометричної прогресії (bn) задовольняє нерівності q<1, то сума прогресії S існує і обчислюється за формулою  limnSn=b11q.
Джерела: