Теорія:

Властивість 1. Якщо послідовність сходиться, то лише до однієї границі.
 
Властивість 2. Якщо послідовність сходиться, то вона обмежена.
 
Властивість 3. (Теорема Вейерштрасса)
Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона сходиться.
 
Наведемо класичний приклад з геометрії, в якому використовується теорема Вейерштрасса.
 
Візьмемо коло і будемо послідовно вписувати в неї правильні багатокутники:
4-кутник, 8-кутник, 16-кутник і т. д. Послідовність площ цих правильних багатокутників зростає і обмежена (знизу числом 0,а зверху, наприклад, числом, що виражає площу описаного навколо окружності квадрата).
 
Отже, побудована послідовність сходиться, її границя приймається за площу круга.
 
Саме за допомогою таких міркувань і отримана в математиці формула площі кола
S=πr2