Теорія:

Розглянемо кілька видів запису границі функції на нескінченності.

1. Дана функція y=f(x), в області визначення якої міститься промінь a;+), і нехай пряма \(y=b\) є горизонтальною асимптотой графіка функції y=f(x).
У цьому випадку використовується запис: limn+f(x)=b (читають: границя функції y=f(x) при приближенні \(x\) до плюс нескінченності дорівнює \(b\)).

2.  Якщо дана функція y=f(x), в області визначення якої міститься промінь (;a, і пряма \(y=b\) є горизонтальною асимптотой графіка функції y=f(x), то в цьому випадку використовується запис: limnf(x)=b

читають: границя функції y=f(x) при приближенні \(x\) до мінус нескінченності дорівнюєн \(b\)).

3. Якщо одночасно виконуються співвідношення:

limn+f(x)=b і limnf(x)=b, то можна об'єднати їх одним записом:

limn±f(x)=b. Але зазвичай використовують більш економний запис: limnf(x)=b

(читають: границя функції  y=f(x) при приближенні \(x\) до нескінченності дорівнюєн \(b\)). 

У цьому випадку пряма \(y=b\) є горизонтальною асимптотой графіка функції y=f(x) ніби з двох сторін.

    Обчислення границі функції на нескінченності здійснюється за тими ж правилами, що і обчислення границі послідовності. Наведемо їх (з відповідними змінами).

1. Для будь-якого натурального показника \(m\) і будь-якого коефіцієнта \(k\) справедливе співвідношення:

limnkxm=0.

2. Якщо limnf(x)=b, limng(x)=c, то

а) границя суми дорівнює сумі границь:

lim(nf(x)+g(x))=b+c;

б) границя добутку дорівнює добутку границь:

lim(nf(x)g(x))=bc;

в) границя частки дорівнює частці границь (зрозуміло, за умови, що c0):

limnf(x)g(x)=bc;

г) постійний множник можна винести за знак границі:

lim(nkf(x))=kb.

Джерела: