Теорія:

Нехай функція \(u=g(x)\) визначена на множині \(X\) і \(U\) - область її значень.
Нехай, далі, функція \(y=f(u)\) визначена на множині \(U\).
Поставимо у відповідність кожному \(x\) із \(X\) число \(f(g(x))\).
Тим самим на множині \(X\) буде задана функція \(y=f(g(x))\).
Її називають композицією функцій або складною функцією.

Якщо відома похідна функції \(f(x)\), то похідну складної функції \(f(u)\) можна обчислити за допомогою наступної формули:

(f(u))=f(u)u
 
Приклад:
1) Обчислити похідну функції (x+2)10. Позначимо u=x+2.
Так як x10=10x9, тоx+210=(u10)=10u9u=10x+291=10x+29
 
2)  Обчислити похідну функції f(x)=sin(cosx). Позначимо u=cosx.
(sinx)=cosx, тому
(sin(cosx))=(sinu)=cosuu==cos(cosx)(cosx)==cos(cosx)(sinx)==cos(cosx)sinx
 
3) Обчислити похідну функції lncosx2. Позначимо u=cosx2.
(lnx)=1x, тому lncosx2=lnu=1uu=uu=(cosx2)cosx2.
Таким же чином обчислимо похідну функції cosx2. Знову позначимо u=x2.
cosx2=cosu=sinuu=sinx2(x2)=2xsinx2.
Далі, вставивши отриманий вираз, виходить
 (lncosx2)=2xsinx2cosx2=2xtgx2
Використовуючи правило диференціювання складної функції, можна обґрунтувати правило диференціювання оберненої функції.
Знаючи похідну функції \(y=f(x)\), можна похідну зворотної функції \(x=g(y)\) знайти за формулою:
xy=1yx
(зрозуміло, за умови, що f(x)0).
Джерела: