Теорія:

Теорема 1.

Якщо функції \(y=f(x)\) і \(y=g(x)\) мають похідну в точці \(x\), то і їх сума має похідну в точці \(x\), причому похідна суми дорівнює сумі похідних:

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)

Теорема 2.

Якщо функція \(y=f(x)\) мають похідну в точці \(x\), то і функція \(y=kf(x)\) має похідну в точці \(x\), причому:

(kf(x))=kf(x)

Теорема 3.

Якщо функції \(y=f(x)\) і \(y=g(x)\) мають похідну в точці \(x\), то і їх добуток має похідну в точці \(x\), причому:

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)

На практиці цю теорему формулюють так:

похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох доданків; перший доданок є добуток похідною першої функції на другу функцію, а другий доданок є добуток першої функції на похідну другої функції.

Якщо функції \(y=f(x)\) і \(y=g(x)\) мають похідну в точці \(x\) і в цій точці g(x)0, то і функція y=f(x)g(x) має похідну в точці \(x\), причому:

f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)

Коротше:

(k1u+k2v)=k1u+k2v(uv)=uv+uvuv=uvuvv2

Приклад:
u=x2v=sinx1.(2x23sinx)=2(x2)3(sinx)=22x3cosx=4x3cosx2.(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx3.x2sinx=(x2)sinxx2(sinx)(sinx)2=2xsinxx2cosxsin2x
Джерела: