Теорія:

1. Дослідження випуклості графіка функції
Графік функції \(f(x)\) має на \((a,b)\) випуклість, направлену вниз (вгору), якщо він розташований не нижче (не вище) будь-якої дотичної до графіка функції на \((a,b)\).
 
Якщо функція \(f(x)\) має на інтервалі \((a, b)\) другу похідну і f(x)0
(f(x)0) у всіх точках \((a, b)\), то графік функції \(f (x)\) має на \((a, b)\) випуклість, спрямовану вниз (вгору).
 
Приклад:
Визначити випуклості функції f(x)=x3+x.
 
Друга похідна цієї функції, це f(x)=6x. Вона від'ємна, якщо \(x<0\), додатна, якщо \(x>0\).
Отже,  графік \(f(x)\) в інтервалі ;0 має випуклість, спрямовану вгору і в інтервалі 0;+ має випуклість, спрямовану вниз.
2. Знаходження точок перегину функції  
Щоб визначити точки перегину функції \(f(x)\), потрібно знайти точки, в яких друга похідна цієї функції є нулем або не існує (і які належать області визначення функції). Тоді можна визначити знак другої похідної функції у відповідних інтервалах - обчисливши значення другої похідної в будь-якій точці інтервалу.
Якщо друга похідна функції в точці змінює знак, ця точка є точкою перегину, якщо не міняє, не є точкою перегину.
Приклад:
Розглянемо функцію f(x)=x3+x.
 
Друга похідна цієї функції, це f(x)=6x. Вона від'ємна, якщо \(x<0\), і додатна, якщо \(x>0\). Отже, в точці \(x=0\) друга похідна змінює знак і ця точка - точка перегину функції.
tema 09.bmp
Джерела: