Теорія:

Графіки будь-яких функцій будують по точках. Але якщо вид графіка заздалегідь невідомий, ці точки треба вибирати з розумом - виділяти особливо важливі точки графіка, які визначають його вид.

Зверни увагу!

До особливо важливих точок графіка функції y=f(x) відносять:

стаціонарні та критичні точки;

— точки екстремума;

— точки перетину графіка з віссю \(x\) ( нулі функції) і з віссю \(y\);

— точки розриву функції.

Якщо мова йде про побудову графіка незнайомої функції, коли заздалегідь неможливо уявити вид графіка, корисно застосовувати певну схему дослідження властивостей функції, яка допомагає скласти уявлення про її графік. Коли таке уявлення складеться, можна приступати до побудови графіка по точках.

В курсі математичного аналізу розроблена універсальна схема дослідження властивостей функції і побудови графіка функції, що дозволяє будувати досить складні графіки. Для наших потреб будуть достатні спрощені варіанти зазначеної схеми.

1) Якщо функція y=f(x) неперервна на всій числовій прямій, то достатньо знайти стаціонарні та критичні точки, точки екстремуму, проміжки монотонності, точки перетину графіка з осями координат і при необхідності вибрати ще кілька контрольних точок.

2) Якщо функція y=f(x) визначена не на всій числовій прямій, то починати слід з знаходження області визначення функції (якщо область не задана) і з вказівки її точок розриву.

3) Корисно досліджувати функцію на парність, оскільки графіки парної або непарної функцій мають симетрію (відповідно відносно осі \(y\) або відносно початку координат), і, отже, можна спочатку побудувати тільки гілку графіка при \(x> 0\), а потім домалювати симетричну гілку.

4) Якщо limxf(x)=b , то, як відомо, пряма \(y=b\) є горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x). Асимптоту слід будувати на координатної площині, вона дає своєрідний орієнтир для графіка.

5) За умови: якщоxa,тоy — пряма \(x=a\) є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x).

Приклад:

Побудувати графік функції y=x2+1x21.

Розв'язання 1. Введемо позначення: f(x)=x2+1x21. Знайдемо область визначення функції. Вона задається умовами x1,x1. Отже, D(f)=(;1)(1;1)(1;+).

2. Досліджуємо функцію на парність:

f(x)=x2+1x21=x2+1x21=f(x)

Отже, задана функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат, а тому можна для початку обмежитися побудовою гілок графіка при x0.

3. Знайдемо асимптоти. Вертикальною асимптотою є пряма \(x=1\), оскільки при цьому значенні \(x\) знаменник дробу перетворюється на нуль, а чисельник відмінний від нуля. Для відшукання горизонтальної асимптоти треба обчислити limxf(x):

limxx2+1x21=limxx2x2+1x2x2x21x2=limx1+1x211x2=1

 Отже, \(y=1\) — горизонтальна асимптота графіка функції.

4.Знайдемо стаціонарні та критичні точки, точки екстремуму і проміжки монотонності функції:

 y=x2+1x21=(x2+1)(x21)(x2+1)(x21)x212=2x(x21)(x2+1)2xx212=4xx212.

Похідна існує всюди в області визначення функції, тож, критичних точок у функції немає.

Стаціонарні точки знайдемо із співвідношення y=0. Отримуємо: \(-4x=0\), звідки знаходимо, що \(x=0\). При \(x<0\) маємо: y>0 ; при \(x>0\) маємо: y<0. Отже, \(x=0\) — точка максимуму функції, причему ymax=f(0)=02+1021=1.

При \(x>0\) маємо: y<0; але слід врахувати наявність точки розриву \ (x = 1 \). Отже, висновок про проміжки монотонності буде виглядати так: на проміжку 0;1) функція спадає, на проміжку (1;+) функція також спадає.

5. Складемо таблицю значень функції f(x)=x2+1x21 при x0:

\(x\)
\(0\)
\(0.5\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
53
53
54
1715

6. Відзначивши знайдені точки на координатній площині, врахувавши при цьому, що \((0;-1)\) - точка максимуму, що \(y=1\) -горизонтальна асимптота, що \(x=1\) -вертикальна асимптота, побудуємо гілки шуканого графіка при x0. Додавши гілки, симетричні побудованим відносно осі ординат, отримаємо весь графік:

graf 09 tema.bmp

Джерела: