Теорія:

Нехай дано функція \(y=f(x)\) і точка \(M(a; f(a))\); нехай відомо, що існує f(a).
Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функції в заданій точці.
Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд \(y=kx+m\), тому завдання полягає в знаходженні значень коефіцієнтів \(k\) і \(m\).

Відомо, що k=f(a). Для обчислення значення \(m\) скористаємося тим, що шукана пряма проходить через точку \(M(a; f(a))\).
Це означає, що якщо підставити координати точки \(M\) в рівняння прямої, отримаємо правильну рівність \(f(a)=ka+m\), тобто \(m=f(a)-ka\).

Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів \(k\) і \(m\) в рівняння прямої:

y=kx+my=kx+(f(a)ka)y=f(a)+k(xa)y=f(a)+f(a)(xa).

Нами отримано рівняння дотичної до графіка функції \(y=f(x)\) в точці \(x=a\).

Алгоритм складання рівняння дотичної до графіка функції \(y=f(x)\)

1. Позначити абсциссу точки дотику буквою \(a\).

2. Обчислити \(f(a)\).

3. Знайти f(x) і обчислити f(a).

4. Підставити знайдені числа \(a\), \(f(a)\), f(a) в формулу y=f(a)+f(a)(xa).

Для функції \(y=f(x)\), що має похідну у фіксованій точці \(x\), справедлива наближена рівність Δyf(x)Δx

або, докладніше, f(x+Δx)f(x)f(x)Δx.

43. vienād..bmp

Для зручності подальших міркувань змінимо позначення: замість \(x\) будемо писати \(a\), замість x+Δx будемо писати \(x\) і, відповідно, замість Δx будемо писати \(x-a\). Тоді написана вище наближена рівність набуде вигляду:

f(x)f(a)f(a)(xa) абоf(x)f(a)+f(a)(xa)

Cмисл наближеної рівності в тому, що в якості наближеного значення функції в точці \(x\) беруть значення ординати дотичної в тій же точці.