Теорія:

Задача 1 (про швидкість руху). По прямій, на якій задані початок відліку, одиниця виміру (метр) і напрям, рухається деякий тіло (матеріальна точка). Закон руху заданий формулою \(s=s(t)\), де \(t\) - час (у секундах), \(s(t)\) - положення тіла на прямій (координата рухомої матеріальної точки) в момент часу \(t\) по відношенню до початку відліку (в метрах). Знайти швидкість руху тіла в момент часу \(t\) (в \(м/с\)).

Розв'язання . Припустимо, що в момент часу \(t\) тіло перебувало в точці \(M\).

1 uzd..bmp

Дамо аргументу \(t\) приріст Δt і розглянемо ситуацію в момент часу t+Δt. Координата матеріальної точки стане іншою, тіло в цей момент буде знаходитися в точці P:OP=st+Δt.

 Отже, за Δt секунд тіло перемістилося з точки \(M\) в точку \(P\). Маємо: MP=OPOM=st+Δts(t). Отриману різницю ми назвали приростом функції: st+Δts(t)=Δs. Тож, MP=Δs(м). Неважко знайти середню швидкість vср руху тіла за проміжок часу t;t+Δt: vср=ΔsΔt \((м/с)\).

 А що таке швидкість \(v(t)\) в момент часу \(t\) (її називають миттєвою швидкістю)? Можна сказати так: це середня швидкість руху за проміжок часу t;t+Δt за умови, що Δt вибирається все менше і менше; точніше: за умови, що Δt0. Це означає, що v(t)=limΔt0vср.

Отже,

v=limΔt0ΔsΔt

Задача 2 (про дотичну до графіка функції). Дан графік функції \(y=f(x)\). На ньому обрана точка \(M (a; f(a))\), в цій точці до графіка функції проведена дотична (ми припускаємо, що вона існує). Знайти кутовий коефіцієнт дотичної.

2.uzd.05.T.bmp

Розв'язання. Дамо аргументу прирощення Δx і розглянемо на графіку точку \(P\) з абсцисою a+Δx. Ордината точки \(P\) дорівнює fa+Δx. Кутовий коефіцієнт січної \(MP\), тобто тангенс кута між січною і віссю \(x\), обчислюється за формулою kсек=ΔyΔx.

Якщо ми тепер спрямуємо Δx до нуля, то точка \ (P \) почне наближатися по кривій до точки \ (M \). Дотичну ми охарактеризували як граничне положення січної при цьому наближенні. Значить, можна вважати, що кутовий коефіцієнт дотичної kкас=limΔx0kсек буде обчислюватися по формулі kкас=limΔx0kсек. Використовуючи наведену вище формулу для kсек, отримуємо:

kкас=limΔx0ΔyΔx

Джерела: