Теорія:

Теорема 3. Якщо функція \(y=f(x)\) має екстремум в точці x=x0, то в цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або не існує.

Теорема 4 (достатні умови екстремуму). Нехай функціяy=f(x) неперервна на проміжку \(X\) і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку x=x0. Тоді:

а ) якщо у цієї точки існує такий округ, в якому при x<x0 виконується нерівність f(x)<0, а при x>x0 — нерівність f(x)>0, то x=x0 — точка мінімуму функції y=f(x));

б ) якщо у цієї точки існує такий округ, в якому при x<x0 виконується нерівність f(x)>0, а при x>x0 — нерівність f(x)<0, то x=x0 — точка максимуму функції y=f(x)) ;

в) якщо у цієї точки існує такий округ, що в ньому и слева и справа от точки x0 знаки похідної однакові, то в точці x0экстремума немає.

Для зручності домовимося внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю, називати стаціонарними, а внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, але похідна не існує, —критичними.

Отже, щоб визначити екстремуми (мінімуми і максимуми) функції f(x), спочатку потрібно знайти критичні точки, в яких  f(x)=0 або ж похідна не існує (і які належать області визначення функції). Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак. (Критичні (стаціонарні) точки ділять реальну числову пряму на інтервали з незмінним знаком похідної. Щоб визначити знак похідної, достатньо обчислити значення похідної функції в будь-якій точці відповідного інтервалу).

Алгоритм дослідження неперервної функції y=f(x) на монотонність і екстремуми:

1. Знайти похідну f(x).

2. Знайти стаціонарні та критичні .

3. Відзначити стаціонарні та критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на одержаних проміжках.

4. Спираючись на теореми 1, 2 і 4, зробити висновки про монотонності функції і про її точки екстремуму.

Отже: якщо похідна функції в критичній точці

1) змінює знак з від'ємного на додатний, то це точка локального мінімуму;
2) змінює знак з додатного на від'ємний, то це точка локального максимуму;
3) не змінює знак, то в цій точці немає екстремуму.

 
Приклад:
Знайти екстремуми функції f(x)=x2x1.
Похідна цієї функції - f(x)=xx2(x1)2, значить, критичні точки функції, це \(x=0\) і \(x=2\). Точка \(x=1\) не належить області визначення функції.
Вони ділять реальну числову пряму на чотири інтервали: ;00;11;22;+. Знак першого інтервалу додатний (наприклад, \(f(-1)=0.75\)). Другого - від'ємнийний, третього - від'ємнийний, четвертий - додатний.
;0
0;1
1;2
2;+
+
-
-
+
 
ekstremi.bmp
 
Отже, похідна змінює знак тільки в точках \(x=0\) і \(x=2\).
У точці \(x=0\) вона змінює знак з додатного на від'ємний, значить, це точка локального максимуму зі значенням функції \(f(0)=0\).
У точці \(x=2\) вона змінює знак з від'ємного на додатний, значить, це точка локального мінімуму зі значенням функції \(f(2)=4\).
Джерела: