Теорія:

Теорема 1. Якщо у всіх точках відкритого проміжку \(X\) виконується нерівність f(x)0 (причому рівність f(x)=0 виконується лише в окремих точках і не виконується ні на якому суцільному проміжку), то функція y=f(x)) зростає на проміжку \(X\).

augoša funk..bmp

Теорема 2. Якщо у всіх точках відкритого проміжку \(X\) виконується нерівність f(x)0 (причому рівність f(x)=0 виконується лише в окремих точках і не виконується ні на якому суцільному проміжку), то функція y=f(x) спадає на проміжку\(X\).

dilst_funk.bmp

Отже:
якщо існує похідна функції в інтервалі \((a, b)\) і в даному інтервалі
1) f(x)0, то функція в ньому не спадає;
2) f(x)0, то функція в ньому не зростає;
3) f(x)>0, то функція в ньому зростає;
4) f(x)<0, то функція в ньому спадає.
 
Приклад:
Необхідно досліджувати інтервали монотонності функції f(x)=x34x216x+17.
 
Спочатку знаходимо похідну: f(x)=(x34x216x+17)=3x28x16.
Це парабола, яка перетинає вісь x в точках x1=43 і x2=4 і чиї гілки спрямовані вгору. Тому похідна від'ємна в інтервалі 43;4 (функція спадає) і додатна в інтервалах ;43 і (4;+) (функція зростає).
 
Відповідь: 
функція f(x)=x34x216x+17 зростає в інтервалах ;43 і (4;+), спадає в інтервалі 43;4.
Джерела: