Теорія:

Російський математик XIX століття П. Л. Чебишев казав, що «особливу важливість мають ті методи науки, які дозволяють вирішувати задачу, загальну для всієї практичної діяльності людини: як мати у розпорядженні свої засоби для досягнення найбільшої вигоди."
Завдання подібного роду носять спільну назву — задачі на оптимізацію (от латинського слова optimum — «найкращий»).

Завдання на оптимізацію вирішують за звичайною схемою з трьох етапів математичного моделювання:

1. складання математичної моделі;

2. робота з моделлю;

3. відповідь на питання завдання.

Далі рекомендації методичного плану.

Перший етап. Складання математичної моделі.

1. Проаналізувавши умови задачі, виділяємо величину, что оптимізується (скорочено: \(О. В.\)), тобто величину, про найбільше або найменше значення якої йдеться. Позначаємо її буквою \(y\) (або \(S, V, R, t\) - залежно від фабули).

2. Одну з тих, що беруть участь в задачі невідомих величин, через яку порівняно неважко виразити \(О. В.\), приймаємо за незалежну змінну (скорочено: \(Н. З.\)) і позначаємо її буквою \(x\) (або якою-небудь іншою буквою). Встановлюємо реальні границі зміни \(Н. З.\) (відповідно до умов задачі), тобто область визначення для шуканої \(О. В.\)

3. Виходячи з умов завдання, висловлюємо \(y\) через \(x\). Математична модель задачі являє собою функцію \(y=f(x)\)) з областю визначення \(X\), яку знайшли на другому кроці.

Другий етап. Робота з складеною моделлю.

На цьому етапі для функції \(y=f(x)\), xX знаходимо yнайм або yнайб, в залежності від того, що потрібно в умові завдання. При цьому використовуються теоретичні установки, які були дані в першому пункті даного параграфа.

Третій етап. Відповідь на питання завдання.

Тут слід дати конкретну відповідь на питання завдання, спираючись на результати, отримані на етапі роботи з моделлю.

Приклад:

Міцність балки прямокутного перетину пропорційна добутку її ширини на квадрат висоти. Який перетин повинна мати балка, витесана з циліндричної колоди радіуса \(R\), щоб її міцність була найбільшою?

rinkis.png

Розв'язання. Перший етап. Складання математичної моделі.

1. Оптимізована величина (О. В.) - міцність балки, оскільки в задачі потрібно з'ясувати, коли міцність балки буде найбільшою. Позначимо О. В. буквою \(y\).

2. Міцність залежить від ширини і висоти прямокутника, що служить осьовим перерізом балки. Оголосимо незалежною змінною (Н. П.) ширину балки, позначимо її буквою \(x\). Оскільки осьовий переріз являє собою прямокутник, вписаний в коло радіуса \(R\) (див.рис.), то \(0<x<2R\) - такі реальні границі зміни незалежної змінної.

3. Висота \(h\) прямокутника пов'язана з його шириною співвідношенням x2+h2=4R2 (за теоремою \(Піфагора\)). Отже, h2=4R2x2.

Міцність балки \ (y \) пропорційна добутку xh2, тобто y=kxh2 (де коефіцієнт \(k\) — деяке додатне число).
Отже,
y=kx(4R2x2),x0;2R.

Математична модель задачі складена.

Другий етап. Робота з складеною моделлю.
На цьому етапі для функції y=kx(4R2x2),x0;2R треба знайти yнайб.

Маємо:

y=4kxR2kx3;y=4kR23kx2.

Критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки. Прирівнявши похідну до нуля, отримаємо:

4kR23kx2=0x1=2R3;x2=2R3.

Заданому інтервалу \((0; 2R)\) належить лише точка x1 і причому x1=2R3 —точка максимуму функції. Отже, за теоремою з пункту 1,

yнайб=f(x1)=f2R3=16kR333.

Третій етап. Відповідь на питання завдання.

У задачі питається, який перетин повинна мати балка найбільшої міцності. Ми з'ясували, що ширина \ (x \) прямокутника, що служить осьовим перерізом найбільш міцної балки, дорівнює 2R3. Знайдемо висоту:

h2=4R24R23=8R23h=2R23hx=2.

Відповідь: перетином балки повинен служити прямокутник, у якого відношення висоти до ширини дорівнює 2.

Зауваження. Кваліфіковані майстри приходять до такого ж результату, спираючись на свій досвід, але, зрозуміло, вони приймають вказане відношення рівним \(1,4\) (21.4).

Джерела: