Теорія:

Розташуємо числове коло в координатної площини так, щоб центр кола зійшовся з початком координат, а його радіус приймаємо за одиничний відрізок.
Початкова точка числового кола \(A\) поєднана з точкою \((1;0)\).
 
един окр.31.png
 
Кожна точка числового кола має в координатної площини свої координати.
 
Знайдемо спочатку координати тих точок координатної площини, які отримані на макетах числового кола.
един окр.6.png
ТочкаMπ4 середина \(I\) чверті.
Опустимо перпендикуляр \(MP\) на пряму \(OA\) і розглянемо трикутник \(OMP\).
Оскільки дуга \(AM\) складає половину дуги \(AB\)то MOP=45° 
 
Отже, трикутник \(OMP\) - рівнобедрений прямокутний трикутник і \(OP = MP\), тобто у точки \(M\) абсциса і ордината рівні: \(x = y\).
 
Так як координати точки \(M (x; y)\) задовольняють рівняння числового кола x2+y2=1,
то для їх знаходження потрібно вирішити систему рівнянь:
x2+y2=1x=y 
 
Підставивши \(x\) замість \(y\) в перше рівняння системи, отримаємо наступне рішення:
 
x2+x2=12x2=1x2=12x=12=22y=x=22
 
При вирішенні враховуємо, що абсциса точки \(M\) додатна.
Отримали, що координати точки \(M\), яка відповідає числу π4, будуть   Mπ4=M22;22
Аналогічно можна отримати координати і інших точок першого макета числового кола, враховуючи тільки знаки координат в кожній чверті.
Отримані результати запишемо в таблицю:
Точка кола.
 
\(0\)
π4
π2
3π4
π
5π4
3π2
7π4
2π
Абсциса \(x\)
\(1\)
22
\(0\)
22
\(-1\)
22
\(0\)
22
\(1\)
Ордината \(y\)
\(0\)
22
\(1\)
22
\(0\)
22
\(-1\)
22
\(0\)
 
Міркуємо аналогічно для точки \(M\), якщо тепер вона відповідає числу π6.
 
един окр.5.png
Трикутник \(MOP\) прямокутний. Так як дуга \(AM\) складає третю частину дуги \(AB\), то MOP=30°.
 
Катет \(MP\) лежить проти кута \(30\) градусів в прямокутному трикутнику, значить, дорівнює половині гіпотенузи, тобто ордината точки \(M\) дорівнює
 MP=12y=12
 
Абсцису \(x\) точки \(M\) знайдемо, розв'язавши рівняння:
 
x2+y2=1
x2=1122=114=34x=32
 
При розв'язанні враховуємо, що абсциса точки \(M\) додатна.
Отримали, що координати точки \(M\), яка відповідає числу π6, будуть  Mπ6=M32;12  
Аналогічно можна отримати координати і інших точок другого макета числового кола, враховуючи тільки знаки координат в кожній чверті.
Отримані результати запишемо в таблицю:
Точка кола.
 
π6
π3
2π3
5π6
7π6
4π3
5π3
11π6
Абсциса \(x\)
32
12
12
32
32
12
12
32
Ордината \(y\)
12
32
32
12
12
32
32
12
 
Джерела: