Теорія:

Розглянемо випробування, в якому ймовірність настання випадкової події \(A\) дорівнює \(P(A)\).

Зверни увагу!

Нам відома формула P(A)+P(A¯)=1, де A¯ — подія, протилежна події \(A\).

Отже, P(A¯)=1P(A). Будемо розглядати вихідне випробування як випробування тільки з двома можливими наслідками: один полягає в тому, що подія \(A\) відбудеться, а інший полягає в тому, що подія \(A\) не відбудеться, тобто відбудеться подія A¯. Для стислості назвемо перший наслідок (настання події \(A\)) «успіхом», а другий наслідок (настання події A¯) — «невдачею». Ймовірність «успіху» позначимо P(A)=p, а ймовірність «невдачі» позначимо q;q=P(A¯)=1P(A)=1p.

Схема Бернуллі

Розглядають \(n\) незалежних повторень одного і того ж випробування з двома можливими наслідками: «успіхом» і «невдачею». Ймовірність «успіху» дорівнює \(p\), а ймовірність «невдачі» дорівнює \(q\), \(p+q=1\). Потрібно знайти ймовірність Pn(k) того, що в цих \(n\) повтореннях відбудеться рівно \(k\) «успіхів».

При \(n\) незалежних повтореннях одного і того ж випробування з двома можливими наслідками більш коротко говорять, як про \(n\) випробуваннях  Бернуллі. Точну відповідь на поставлене питання дасть наступна теорема.

Теорема Бернуллі

Імовірність Pn(k) настання дорівнює \(k\) «успіхів» у \(n\) незалежних повтореннях одного і того ж випробування обчислюється за формулою Pn(k)=Cnkpkqnk, де \(p\) — ймовірність «успіху», а \(q=1-p\) — ймовірність «невдачі» в окремому випробуванні.

Приклад:

Кожен з чотирьох приятелів вивчив рівно \(5\) питань з \(20\) заданих до заліку. На заліку вони відповідали в різних аудиторіях і отримували питання незалежно один від одного. Знайти ймовірність того, що:

а) кожному дісталося те питання, яке він вивчив;

б) нікому не дісталося питання, яке він вивчив;

в) тільки одному з приятелів дісталося те питання, яке він не вивчив;

г) хоча б одному з приятелів дісталося те питання, яке він вивчив.

Розв'язок. Якщо комусь дісталося питання, яке відоме йому, то це «успіх». Ймовірність «успіху» у кожного з приятелів, що готувалися до заліку, одна і та ж: вона дорівнює 520=0,25. Тому можна вважати, що ми маємо справу з \(n=4\) випробуваннями Бернуллі з імовірністю «успіху» в окремому випробуванні \(p=0,25\).

а) В цьому випадку \(k=n=4\) і тому P4(4)=C44p4q44=0,2540,004

б) В цьому випадку \(k=0\) і тому P4(0)=C40p0q40=0,7540,316

в) Тут \(k=3\) і тому P4(3)=C43p3q43=40,2530,750,047

г) Подія, протилежна даній, полягає в тому, що нікому з друзів не дісталося питання, відоме йому, тобто, що сталося \(k=0\) «успіхів». Ймовірність такої загальної невдачі вже порахована в пункті б). Отже, потрібна нам ймовірність дорівнює 1P4(0)=10,7540,684

Теорема

Найбільш вірогідне число «успіхів» у \(n\) випробуваннях Бернуллі наближено дорівнює \(np\), де \(p\) — ймовірність «успіху» в окремому випробуванні.

Сформулюємо наступне правило.

Для того щоб знайти найімовірніше число kнайімовір «успіхів» у \(n\) випробуваннях Бернуллі з імовірністю «успіху» рівною \(p\), слід:

1) обчислити число \(np\);

2) від числа \(np\) на координатній прямій відкласти \(q\) вліво і \(p\) вправо;

3) ціле число, яке лежить на відрізку npq;np+p одиничної довжини, і буде дорівнює kнайімовір; якщо таких цілих чисел два, то kнайімовір може дорівнювати будь-якому з них.

Джерела:
Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. —6-е вид., стер. —М. : Мнемозіна, 2012. —287 с. : іл.