Теорія:

Припустимо, що з колоди в \(36\) карт витягується одна карта і розглядаються: подія \(A\) — витягнута карта трефової масті, подія \(B\) — витягнута дама треф. Між подіями \(A\) і \(B\) очевидна наявність якоїсь залежності. Дійсно, з \(9\) випадків, що сприяють події \(A\), події \(B\) сприяє один; тому при настанні події \(A\) ймовірність події \(B\) дорівнює 19. Але за відсутності інформації про настання події \(А\) ймовірність події \(B\) оцінюється як рівна 136. Так як 19>136 , то очевидно, що настання події \(А\) підвищує шанси події \(B\). 

Події \(A\) і \(B\) називаються незалежними, якщо поява однієї з них не змінює ймовірності появи іншого. Подія \(A\) називається залежною від події \(B\) якщо ймовірність події \(A\) змінюється в залежності від того, відбулася подія \(B\) або ні.

Часто про незалежність подій вдається судити на підставі того, як організований дослід, в якому вони відбуваються. Незалежні події з'являються тоді, коли дослід складається з декількох незалежних випробувань (як, наприклад, було у розглянутому досліді з киданням двох гральних кісток). Якщо незалежність випробувань не очевидна, то незалежність подій \(A\) і \(B\) перевіряється за допомогою формули:

Події \(A\) і \(B\) називають незалежними, якщо виконується рівність P(AB)=P(A)P(B)

Приклад:

Розглянемо дослід з киданням двох гральних кісток і дослідимо дві події: \(A\) — на першій кістці випало \(5\) очок, \(B\) — на другий кістці випало \(5\) очок. З'ясуємо, чи будуть події \(A\) і \(B\) незалежними.

Поява будь-якого числа очок на першій кістці (зокрема, настання події \(A\)) не впливає на подію \(B\) і на її ймовірність. І навпаки, настання або не настання події \(B\) не впливає на ймовірність події \(A\). Таким чином,

P(A)=16 іP(B)=16

Подія \(AB\) полягає в спільному настанні подій \(A\) і \(B\). Елементарні результати випробування — це пари чисел, в яких на першому місці стоїть число очок першої кістки, на другому — число очок другої кістки. Всього елементарних наслідків випробування n=66=36. Серед них присутня лише одна пара (\(5\) і \(5\) очок), що сприяє події \(AB\), тобто m=1. Таким чином,

P(AB)=136=1616=P(A)P(B), тобто події \(A\) і \(B\) незалежні.

Джерела:
Алгебра і початки математичного аналізу. 10 — 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. — 18-е вид. — М.: Просвітництво, 2012. — 464 с .