Теорія:

salabota_bilde.PNG
 
Біноміальна формула Ньютона:
a+bn==Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cn3an3b3+...+Cnkankbk+Cnn1a1bn1+Cnna0bn
 
Права частина формули називається розкладанням степеня бінома.
Cnk — називається біноміальними коефіцієнтами, а всі складові — членами бінома.
Біноміальні коефіцієнти — це ті числа, які складають трикутник Паскаля. 
 
Сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2n.
  
a+b0=1a+b1=1a+1ba+b2=1a2+2ab+1b2a+b3=1a3+3a2b+3ab2+1b3a+b4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4   C00=1Cnn=1Cn1=n
Приклад:
1. Напиши розкладання степеня бінома.
x2y6=x+(2y)6==x6+6x5(2y)+15x4(2y)2+20x3(2y)3+15x2(2y)4++6x(2y)5+(2y)6==x612x5y+60x4y2160x3y3+240x2y4192xy5+64y6
  
2. Обчисли середній член розкладання (3a+b)6
Розв'язок:
В розкладанні \(6 + 1 = 7\) членів, отже, середній член — четвертий.
 
T4=T3+1=C63(3a)63b3=65432127a3b3=540a3b3
 
3. Обчисліть член розкладання (x2+1x)12, який містить x3  
Розв'язок:
Tk+1=C12kx212kx1k=C12kx242kxk=C12kx243k
 
Якщо член містить x3, то x243k=x3243k=3; k=2433=7
Отже, це k+1=7+1=8. член.
 
T8=C127x3=C125x3=1211109854321x3=95040120x3=792x3
 
Відповідь: \(8\) член розкладання дорівнює 792x3
  
«Біном» з грецької мови перекладається як «двочлен».
Джерела:
Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. -18-е вид. - М.: Просвітництво, 2012. — 464 с