Теорія:

Для будь-яких значень \(n\) і \(m\) (0mn) дійсна рівність Cnm=Cnnm
Знаючи дану властивість, можна прискорити розв'язання завдань.
Приклад:
У магазині \(7\) різних майок. Галя хоче приміряти \(2\) майки, а Аня хоче приміряти \(5\). Скільки існує можливостей кожної з дівчаток кожен раз вибрати новий комплект для примірки?
У Галі C72=7!2!73!=7654!214!=105 можливостей вибрати майки, а у Ані — C75 можливостей.
Так як C75=C775=C72, то без обчислень зрозуміло, що у обох дівчаток однакова кількість можливостей: \(105\).
Для числа комбінацій в силі властивість: Cn+1m=Cnm1+Cnm,(1mn)
 
Наприклад,  C31=C20+C21;C32=C21+C22.
 
Для будь-якого допустимого значення \(n\) в силі Cn0=1Cnn=1
 
Використовуючи дві останні властивості, з комбінацій можна скласти трикутник Паскаля.
  
Трикутну таблицю прийнято називати трикутником Паскаля (на честь французького математика 17 ст.). Даний трикутник був відомий вже у другому столітті до нашої ери в стародавній Індії. У XII столітті він з'явився в роботах математиків Китаю. У Європі в XVI столітті його описав німецький математик М. Штіфель і потім Паскаль в XVII столітті.

Трикутник Паскаля складається з числових рядків (див. малюнок). У першій сходинці одне число, в другій — два, у третій — три, і т.д. Перше і останнє число кожного рядка дорівнює \(1\). Кожне з інших чисел дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел попереднього рядка.
 
paskāls2.bmp
 
Трикутник Паскаля з комбінаціями:
 
Pask3.bmp
 
Використовуючи трикутник Паскаля, можна зробити висновок, що додавши числа в будь-якому рядку трикутника Паскаля, можна отримати степінь числа \(2\).
Cn0+Cn1+...+Cnn1+Cnn=2n,якщоn=0;1;2;3;...
Джерела:
Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. -18-е вид. - М.: Просвітництво, 2012. — 464 с