Теорія:

У вазі лежить \(5\) яблук, \(4\) груші та \(3\) мандарина. Скільки існує можливостей взяти один фрукт з вази?
 
Якщо взяти яблуко, то існує \(5\) можливостей,
якщо взяти грушу, то існує \(4\) можливості,
якщо взяти мандарин, то існує \(3\) можливості.
Отже, щоб взяти один фрукт з усіх, що лежать у вазі, існує \(5 + 4 + 3 = 12\) можливостей.
 
Цей приклад можна узагальнити.
 
Припустимо, що є дві групи: в одній \(k\) різних елементів, у другій \(n\) різних елементів. Якщо з першої групи який-небудь елемент можна вибрати \(k\) способами, а з другої \(n\) способами, то вибрати один елемент з першої або другої групи можна \(k + n\) способами.
Це називається законом складання в комбінаториці. Закон складання також використовується, якщо потрібно вибрати елемент з трьох, чотирьох і т.д. груп.
 
Закон складання використовується тоді, коли потрібно вибрати тільки \(1\) елемент.
Щоб використовувати закон складання:
1. потрібно зрозуміти, які групи, з яких потрібно вибрати \(1\) елемент;
2. потрібно з'ясувати кількість елементів у кожній групі;
3. потрібно переконатися, що в різних групах, з яких вибирають елемент, немає однакових елементів.
 
Приклад:
Віка повинна вибрати тільки один десерт з \(8\) видів коктейлю, \(5\) видів морозива і \(5\) видів йогурту. Скількома способами вона може вибрати десерт?
Розв'язок:
Використовується закон складання, т.я. Віка повинна вибрати або коктейль, або морозиво, або йогурт.
\(8 + 5 + 5 = 18\)
Відповідь: Віка може вибрати десерт \(18\) способами.
При використанні закону складання треба стежити, щоб жоден із способів вибору об'єкта \(a\) не збігався з яким-небудь способом вибору об'єкта \(b\).
Якщо такі збіги є, то закон складання втрачає силу, і ми отримуємо лише \((k + n - m)\) способів вибору, де \(m\) - число збігів.
Тож:
Якщо об'єкт \(a\) можна отримати \(k\) способами, об'єкт \(b\) — \(n\)  способами, то об'єкт \(«a\) або \(b»\) можна отримати \(k+n-m\) способами, де \(m\) — це кількість способів, які повторюються.
Приклад:
В групі \(7\) осіб мають «5» з математики, \(9\) осіб — «5» з філософії. У сесії \(2\) іспити. Відомо, що \(4\) людини здали сесію відмінно. Скільки людей мають хоча б одну п'ятірку в сесії?
Розв'язок: \(7+9-4=12\)
Джерела: