Теорія:

Дуже багато подій в нашому житті є наслідком спільного впливу великої кількості дрібних факторів.
 
Наприклад, час у дорозі на роботу залежить від пробок, світлофорів, пішоходів, і.т.д. Всі ці фактори, накладаючись один на одного, і дають підсумковий час у дорозі.
 
Але якщо постійно їздити на роботу, то виробляється деякий середній час. Така стійкість до сильних відхилень від середнього пов'язана з тим, що серед усієї множини незалежно діючих дрібних факторів будуть як фактори, що зменшують час у дорозі, так і фактори, що збільшують цей час.
 
Зменшують і підсилюють фактори взаємно погашають один одного, тому сумарне відхилення від середнього невелике.
 
При цьому надзвичайно важливі дві речі:
  1. всі діючі фактори не повинні бути сильними,
  2. всі діючі фактори повинні бути незалежними.
 
Математичним формулюванням цього принципу є закон великих чисел.
Для кожного позитивного числа \(r\) при необмеженому збільшенні числа \(n\) незалежних повторень випробування з двома наслідками ймовірностей того, що частота \(k/n\) появи «успіху» відрізняється менш ніж на \(r\) від ймовірності \(p\) «успіху» в одному окремому випробуванні, прагне до одиниці.
Тобто середнє арифметичне багатьох незалежних випадкових величин збігається до деякого значення при збільшенні числа цих величин.
 
Механізм цього колишній — відхилення вправо і вліво взаємно погашаються. Саме на цьому принципі засноване те, що багаторазове повторення одного і того ж призводить до майже передбачуваного результату.
 
Існує спосіб наближених обчислень імовірності Pn(k) настання \(k\) «успіхів» в \(n\) незалежних повтореннях експерименту за допомогою гаусової функції.
 
Для гаусової функції є докладні таблиці її значень. Ці таблиці складені для значень аргументу \(x\) з кроком \(0,01\).

Опишемо спосіб використання гаусової кривої для наближених обчислень в теоремі Бернуллі.

Алгоритм використання функції y=ϕ(x) в наближених обчисленнях.

Для обчислення ймовірності Pn(k) слід:

  • перевірити справедливість нерівності \(npq >10\);
  • обчислити xk за формулою xk=knpnpq;
  • по таблиці значень гаусової функції обчислити ϕxk;
  • попередній результат розділити на npq.

Pn(k)=ϕxknpq

Імовірності Pn(k), як правило, дуже малі. Тому при великому числі \(n\) у схемі Бернуллі для числа \(k\) «успіхів» встановлюють не одне точне значення, а деякі рамки, в межах яких дозволено змінюватися числу \(k\).

Імовірність того, що число «успіхів» \(k\) в \(n\) випробуваннях Бернуллі знаходиться в межах від k1 до k2 позначають так: Pn(k1kk2)

gauss2.png

Графік функції y=Φ(x):

gauss3.png

Алгоритм використання функції \(y= Ф(x)\) в наближених обчисленнях:

  • перевірити справедливість нерівності \(npq ≥ 10\);
  • обчислити x1 і x2 за формулами:
     x1=k1npnpq;x2=k2npnpq
  • по таблиці обчислити значення  Φx1 і Φx2;
  • знайти різницю Φx2Φx1
    Pnk1kk2Φx2Φx1
Джерела:

Мордкович А. Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 6-е вид., стер. — М. : Мнемозина, 2012. —287 с.