Теорія:

У статистиці досліджують різні сукупності даних — числових значень випадкових величин з урахуванням частот, з якими вони зустрічаються в сукупності.

При цьому сукупність всіх даних називають генеральною сукупністю, а будь-яку обрану з неї частину — вибіркою.

У статистичних дослідженнях вибірку називають репрезентативною, якщо в ній присутні ті і тільки ті значення випадкової величини, що і в генеральній сукупності, причому частоти наявних у ній даних знаходяться практично в тих же відносинах, що і в генеральній сукупності.

Сукупність даних іноді буває корисно охарактеризувати (оцінити) одним числом — мірою центральної тенденції числових значень її елементів. До таких характеристик відносяться мода, медіана та середнє.

Мода (позначають Mo) — це значення випадкової величини, що має найбільшу частоту в розглянутій вибірці.

Приклад:

Mода вибірки \(7, 6, 2, 5, 6, 1\) дорівнює \(6\);

a вибірка \(2, 3, 8, 2, 8, 5\) має дві моди: Mo\(= 2\),  Mo\(= 8\).

Медіана (позначають Me) — це число (значення випадкової величини), що розділяє впорядковану вибірку на дві рівні за кількістю даних частини.
 
Якщо у впорядкованій вибірці непарна кількість даних, то медіана дорівнює серединному з них. Якщо у впорядкованій вибірці парна кількість даних, то медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних чисел.
Приклад:

1) \(5, 9, 1, 4, 5, -2 , 0\);   2) \(7, 4, 2, 3, 6, 1\).

1. Розташуємо елементи вибірки в порядку зростання: \(-2 , 0, 1, 4, 5, 5, 9\). Кількість даних непарна. Ліворуч і праворуч від числа \(4\) знаходяться по \(3\) елемента, тобто \(4\) — серединне число вибірки, тому Me \(= 4\).

2. Упорядкуємо елементи вибірки: \(1, 2, 3, 4, 6, 7\).

Кількість даних парна. Серединні дані вибірки: \(3\) і \(4\), тому Me=3+42=3,5.

Середнє (або середнє арифметичне) вибірки — це число, що дорівнює відношенню суми всіх чисел вибірки до їх кількості.

Якщо розглядається сукупність значень випадкової величини X, то її середнє позначають X¯.

Приклад:

Знайти середнє вибірки значень випадкової величини X, розподіл яких по частотах представлено в таблиці:

\(X\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(8\)
\(10\)
\(M\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(1\)
\(1\)

X¯=21+32+43+81+1011+2+3+1+1=388=4,75

Однією з найбільш поширених характеристик вибірки значень випадкової величини, чий розподіл по ймовірностям відомо, є так зване математичне очікування.

Нехай розподіл за ймовірностями \(P\) значень деякої випадкової величини X задано таблицею

X
X1
X2
...
Xn1
Xn
P
P1
P2
...
Pn1
Pn

Тоді число E, де E=X1P1+X2P2+...+Xn1Pn1+XnPn називають математичним очікуванням (або середнім значенням) випадкової величини X.

Джерела:

Алгебра і початки математичного аналізу. 10— 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. — 18-е вид. — М.: Просвітництво, 2012. — 464 с .