Теорія:

Основні властивості невизначеного інтеграла:
 
1. f(x)dx=f(x)
2. F(x)dx=F(x)+C
3. kf(x)dx=kf(x)dx, якщо k0
4. f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx
 
Докази цих властивостей.
(Позначимо первісну функції \(f(x)\) як \(F(x)\) - тобто F(x)=f(x) або f(x)dx=F(x)+C. Так само G(x)=g(x))
 
Доказ першої властивості:
f(x)dx=F(x)+C=F(x)=f(x)
 
Доказ другої властивості:
F(x)dx=f(x)dx=F(x)+C
 
Доказ третьої властивості:
kf(x)dx=kF(x)dx=(kF(x))dx=kF(x)+C=k(F(x)+C)=kf(x)dx
(Тут було використано те, що при діленні сталої на ненульову сталу, в результаті також виходить стала).
 
Доказ четвертої властивості:
f(x)±g(x)dx=F(x)±g(x)dx=F(x)±G(x)dx=F(x)±G(x)+C==F(x)+Cf±G(x)+Cg=f(x)dx±g(x)dx
(Тут було використано те, що складаючи або віднімаючи дві сталі, виходить стала).