Теорія:

Розглянемо рівняння з логарифмами різних основ.
У таких випадках зручно застосовувати формули переходу від однієї основи до іншої:
Якщо a>0,a1,b>0,c>0,c1, то правильна рівність
logab=logcblogca
Приклад:
Розв'яжи рівняння: log2xlog0,5x=8
Розв'язок.
ОДЗ: \(x>0\)
x0;+
 
Застосуємо формулу переходу до нової основи \(2\)
log2xlog2xlog20,5=8log2xlog2xlog212=8log2xlog2x1=8log2x+log2x=82log2x=8|:2log2x=4x=16
Відповідь: \(x=16\)
 
Якщо a>0,a1,b>0,b1, то правильна рівність logab=1logba
Приклад:
Розв'яжи рівняння: 2log22x5logx2=3
Розв'язок.
ОДЗ: \(x>0\)
 
2log22x5log2x3=0
Нехай log2x=t
2t25t3=0t1=12t2=3log2x=12log2x=3x1=212=1212=1222=22x2=23=8
Обидва значення належать ОДЗ.
Відповідь: 22;8
 
Якщо a>0,a1,b>0,r0, то правильна рівність logab=logarbr
Приклад:
Розв'яжи рівняння: log3x+log3x=6log13x
Розв'язок.
ОДЗ: \(x>0\)
 
log32x2+log3x=6log131x1log3x2+log3x=6log3x1log3x2+log3xlog3x=6log3x2=62log3x=6log3x=3x=33x=27
x1=27ОДЗ      x2=27ОДЗ
Відповідь: \(x=27\).