Теорія:

Рішенням нерівності f(x)>g(x) називають всяке значення змінної \(x\), яке обертає задану нерівність зі змінною в правильну числову нерівність.
Термін рішення використовують в трьох значеннях: як загальне рішення, як приватне рішення і як процес.
 
Визначення 1. 
Дві нерівності з однією змінною f(x)>g(x) і p(x)>h(x) називають рівносильними, якщо їхні рішення (тобто множини приватних рішень) збігаються.
Використання знака \(>\) непринципово, може бути будь-який інший знак нерівності як включного, так і невключного.
 
Визначення 2.
Якщо рішення нерівності f(x)>g(x)      \((1)\)
міститься в рішенні нерівності  p(x)>h(x),    \((2)\)
то нерівність \((2)\) називають наслідком нерівності \((1)\).
Нерівність x2>9 є наслідком нерівності 2x>6. Справді, розв'язавши кожну нерівність, отримаємо:
x29>0(x3)(x+3)>0x(;3)(3;+)           і                                2x>6x>3x(3;+)
 
interv5.png interv6.png
Розв'язок другої нерівності є частиною рішення першої, тому перша нерівність — наслідок другої нерівності. 
 
Рішення нерівностей, що зустрічаються в шкільному курсі, грунтується на шести теоремах про рівносильність:
Теорема 1.
Якщо який-небудь член нерівності перенести з однієї частини нерівності в іншу з протилежним знаком, залишивши знак нерівності без зміни, то вийде нерівність, рівносильна даній.
Теорема 2.
Якщо обидві частини нерівності піднести до одного і того ж непарного степеня, залишивши знак нерівності без зміни, то вийде нерівність, рівносильна даній.
Теорема 3.
Показникова нерівність af(x)>ag(x) рівносильна:
 
а) нерівності того ж змісту f(x)>g(x), якщо \(a>1\);
б) нерівності протилежного змісту f(x)<g(x), якщо \(0<a<1\)
Теорема 4.
a) Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на один і той же вираз \(h(x)\), позитивний при всіх \(x\) з області визначення (області допустимих значень змінної) нерівності f(x)>g(x), залишивши при цьому знак нерівності без зміни, то вийде нерівність f(x)h(x)>g(x)h(x), рівносильна даній.
 
б) Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на один і той же вираз \(h(x)\), негативне при всіх \(x\) з області визначення нерівності f(x)>g(x), змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде нерівність f(x)h(x)<g(x)h(x), рівносильна даній.
Теорема 5.
Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) невід'ємні в області його визначення (в ОДЗ), то після зведення обох частин нерівності в один і той же парний степінь \(n\) вийде нерівність того ж змісту f(x)n>g(x)n, рівносильна даній.
Теорема 6.
Якщо f(x)>0 і g(x)>0, то логарифмічна нерівність logaf(x)>logag(x) рівносильна:
 
а) нерівності того ж змісту f(x)>g(x), якщо \(a>1\);
б) нерівності протилежного змісту f(x)<g(x), якщо \(0<a<1\).     
 
Джерела:
Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.
В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.