Теорія:

Рішенням рівняння з двома змінними \(p(x;y)=0\) називають всяку пару чисел \((x;y)\), яка обертає рівняння в правильну числову рівність. 
Рівняння з двома змінними зазвичай має нескінченно багато рішень.
Приклад:
Рівнянню x2+y2=9 задовольняє будь-яка пара \((x;y)\) така, що точка координатної площини \(M(x;y)\) належить окружності радіусом \(3\) з центром у початку координат.
Якщо дано ціле раціональне рівняння з декількома змінними і цілочисельними коефіцієнтами і якщо поставлено завдання знайти його цілочисельні (або раціональні) рішення, то говорять, що задано діофантове рівняння.
Приклад:
Знайти цілочисельні рішення рівняння 3x+4y=19
Виразимо \(x\) з даного рівняння: x=194y3
При подільності числа \(y\) на \(3\) можуть бути три можливості:
1) \(y = 3k\),
2) \(y = 3k+1\),
3) \(y = 3k+2\).
 
Якщо \(y = 3k\), то отримаємо 194y=1943k=1912k. Це число на \(3\) не делится, т.к. \(12k\) ділиться на \(3\), а \(19\) не ділиться на \(3\).
Якщо \(y = 3k+1\), то отримаємо 194y=1943k+1=1912k4=1512k=354k.
Це число на \(3\) ділиться.
Якщо \(y = 3k+2\), то отримаємо 194y=1943k+2=1912k8=1112k. Це число на \(3\) не ділиться.
 
Отже, єдина можливість цілочисельного рішення рівняння є пара чисел \((5-4k;3k+1)\), де \(k\) — будь-яке ціле число.
Рішенням нерівності  \(p(x;y)>0\) називають всяку пару чисел \((x;y)\), яка задовольняє цій нерівності, тобто обертає її в правильну числову нерівність.
Приклад:
Розв'язати нерівність \(2x+3y>0\).
Побудуємо графік рівняння \(2x+3y=0\) — пряму.
Рішенням нерівності є точки напівплощини вище або нижче побудованої прямої.
Для правильного визначення потрібної напівплощини виберемо будь-яку точку з неї, координати якої підставимо в таку нерівність.
 
Якщо нерівність буде вірною, то напівплощина вибрана вірно.
 
lineara nevienad.png
 
Вибравши контрольну точку \((1;1)\) з верхньої напівплощини, отримаємо правильну числову нерівність:  21+31>0
Значить, рішенням даної нерівності є верхня напівплощина.
 
Аналогічно можна міркувати при рішенні системи нерівностей з двома змінними.
Розв'язати систему нерівностей з двома змінними — значить знайти множину всіх таких точок координатної площини, координати яких задовольняють одночасно всім нерівностям системи.
 
Джерела:
Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.
В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.