Теорія:

Проверка корней и потеря корней.
У ході рішення рівнянь, виконуючи різні перетворення, може вийти рівняння-наслідок. Це може статися, якщо застосувати одну з теорем \(4\), \(5\) або \(6\), не перевіривши виконання обмежень, закладених у формулюванні теореми.
Приклад:
Зведено в квадрат обидві частини рівняння x1=3.
Отримаємо рівняння, розв'язавши яке, маємо у відповіді два кореня: 
x12=9x1=4,x2=2
Другий корінь \(-2\) є стороннім коренем рівняння x1=3.
Причина його появи в тому, що по теоремі \(5\) обидві частини рівняння при зведенні його в один і той же парний степінь, повинні бути невід'ємні. Але відносно виразу \(x-1\) стверджувати цього не можна.
У ході рішення рівнянь може відбутися розширення області визначення рівняння, якщо:
 
1) відбувається звільнення від знаменників, що містять змінну;
2) відбувається звільнення від знаків коренів парного ступеня;
3) відбувається звільнення від знаків логарифмів.
Зверни увагу!
При перетворенні вихідного рівняння в рівняння-наслідок, обов'язкова перевірка всіх знайдених коренів, щоб виявити сторонній корінь.
Перевірка необхідна, якщо:
 
1) відбулося розширення області визначення рівняння;
2) здійснювалося зведення обох частин рівняння в один і той же парний степінь;
3) виконувалося множення обох частин рівняння на один і той же вираз зі змінною (що має сенс у всій області визначення рівняння).
При рішенні рівнянь, замінюючи одне рівняння іншим, може як з'явитися сторонній корінь, так і загубитися якийсь корінь.
Втрата кореня може статися, якщо:
  
1) розділити обидві частини рівняння на один і той же вираз \(h(x)\) (крім тих випадків, коли точно відомо, що всюди в області визначення рівняння виконується умова h(x)0);
2) звуження ОДЗ в процесі рішення рівняння.
Приклад:
Розв'яжи рівняння
lgx2=4
 
Розв'яжемо рівняння двома способами:
x2=104;2lgx=4;x2=10000;lgx=2;x1=100,x=100x2=100
 
Порівнюючи цих два способи, помічаємо, що при рішенні другим способом «загубився» корінь \(x=-100\).
Причина тут — у неправильному застосуванні формули, яка звузила область визначення виразу, тобто замість правильної формули
lgx2=2lg|x| (де область визначення \(x\) — будь-яке число, крім \(0\)), ми скористалися неправильною формулою lgx2=2lgx, де область визначення \(x>0\), тобто тільки позитивні числа. З області визначення «випав» відкритий промінь ;0, де якраз і знаходиться «загублений» при другому способі вирішення корінь рівняння.
 
Тому, застосовуючи при рішенні рівняння яку-небудь формулу, необхідно, щоб в правій і лівій частині формули, ОДЗ змінної були б однаковими.
 
Джерела:
Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.
В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.