Теорія:

Визначення 1.
Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) і p(x)=h(x) називають рівносильними, якщо множини їх коренів збігаються.
  
Іншими словами,
два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені або якщо обидва рівняння не мають коренів. 
Визначення 2.
Якщо кожен корінь рівняння f(x)=g(x)      \((1)\)
є в той же час коренем рівняння p(x)=h(x),    \((2)\)
то рівняння \((2)\) називають наслідком рівняння \((1)\).
Приклад:
Рівняння x22=9 є наслідком рівняння x2=3.
Насправді, розв'язавши кожне рівняння, отримаємо:
x22=9x2=3;x2=3x1=5;x2=1           і            x2=3x=5
 
Корінь другого рівняння є одним з коренів першого рівняння, тому перше рівняння — наслідок другого рівняння.
 
Очевидно наступне твердження:
Два рівняння рівносильні тоді і тільки тоді, коли кожне з них є наслідком іншого.
Рішення рівняння, як правило, здійснюється в три етапи:
 
Перший етап — технічний.
На цьому етапі здійснюють перетворення за схемою (1)(2)(3)(4)... і знаходять корені останнього (найпростішого) рівняння вказаного ланцюжка.
  
Другий етап — аналіз розв'язку.
На цьому етапі аналізуємо, чи всі проведені перетворення були рівносильними.
  
Третій етап — перевірка.
Якщо аналізуючи перетворення на другому етапі, робимо висновок, що отримали рівняння-наслідок, то обов'язкова перевірка всіх знайдених коренів їх підстановкою у початкове рівняння.
 
Зверни увагу!
Розв'язок рівнянь, що зустрічаються в шкільному курсі, грунтується на шести теоремах про рівносильність.
Теорема 1.
Якщо який-небудь член рівняння перенести з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, то вийде рівняння, рівносильне даному.
Теорема 2.
Якщо обидві частини рівняння звести в один і той же непарний степінь, то вийде рівняння, рівносильне даному.
Теорема 3.
Показникове рівняння af(x)=ag(x), де \(a>0\), a1 рівносильне
рівнянню f(x)=g(x).
 
Визначення 3.
Областю визначення рівняння f(x)=g(x) або областю допустимих значень змінної (ОДЗ) називають множину тих значень змінної \(x\), при яких одночасно мають сенс вирази \(f(x)\) і \(g(x)\).
Теорема 4.
Якщо обидві частини рівняння f(x)=g(x) помножити на один і той же вираз \(h(x)\), яке:
a) має зміст усюди в області визначення (в області допустимих значень) рівняння f(x)=g(x);
б) ніде в цій області не обертається в \(0\),
то вийде рівняння f(x)h(x)=g(x)h(x), рівносильне даному.
Наслідок теореми 4.
Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.
Теорема 5.
Якщо обидві частини рівняння f(x)=g(x) невід'ємні в області визначення рівняння, то після зведення обох його частин в один і той же парний степінь \(n\) вийде рівняння, рівносильне даному:f(x)n=g(x)n
Теорема 6.
Якщо f(x)>0 і g(x)>0, то логарифмічне рівняння logaf(x)=logag(x), де \(a>0\), a1, рівносильне рівнянню f(x)=g(x)
 
Джерела:
Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.
В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.