Теорія:

Лінійна функція — це функція, яку можна задати формулою
\(y = kx + m\), де \(x\) — незалежна змінна, \(k\) і \(m\) — деякі числа.
 
Застосовуючи цю формулу, знаючи конкретне значення \(x\), можна обчислити відповідне значення \(y\).
Нехай \(y = 0,5x - 2\).
Тоді:
якщо  \(x = 0\), то \(y = - 2\);
якщо  \(x = 2\), то \(y = - 1\);
якщо  \(x = 4\), то \(y = 0\) і т. д.
 
Зазвичай ці результати оформляють у вигляді таблиці:
\(x\)\(0\)\(2\)\(4\)
\(y\)\(-2\)\(-1\)\(0\)
\(x\) - незалежна змінна (або аргумент),
\(y\) - залежна змінна.
Графіком лінійної функції \(y = kx + m\) є пряма.
Щоб побудувати графік даної функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції.
 
Побудуємо на координатній площині \(xOy\) точки \((0;-2)\) і \((4;0)\) і
проведемо через них пряму.
 
lineara1.png
 
Багато реальних ситуацій описуються математичними моделями, що представляють собою лінійні функції.
Приклад:
На складі було \(500\) т вугілля. Щодня почали підвозити по \(30\) т вугілля. Скільки вугілля буде на складі через \(2\); \(4\); \(10\) днів?
 
Якщо мине \(x\) днів, то кількість \(y\) вугілля на складі (у тоннах) можна виразити формулою \(y = 500 + 30x\).
 
Таким чином, лінійна функція \(y = 30x + 500\) є математичною моделлю ситуації.
За \(x = 2\) маємо \(y = 560\);
за \(x = 4\) маємо \(y = 620\);
за \(x = 10\) маємо \(y = 800\) і т. д.
 
Однак треба враховувати, що в цій ситуації x.
Якщо лінійну функцію \(y = kx + m\) треба розглядати не за всіх значень \(x\), а лише для значень \(x\) із деякої числової безлічі \(X\), то пишуть y=kx+m,xX.
Приклад:
Побудувати графік лінійної функції:
a) y=2x+1,x3;2  b) y=2x+1,x3;2
 
Складемо таблицю значень функції:
\(x\)\(-3\)\(2\)
\(y\)\(7\)\(-3\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xOy\) точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) і
проведемо через них пряму.
 
Далі виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки.
Цей відрізок і є графіком лінійної функції y=2x+1,x3;2.
Точки \((-3;7)\) і \((2;-3)\) на рисунку відзначені темними кружечками.
 
lineara2.png
 
b) У другому випадку функція та сама, тільки значення \(x = -3\) і \(x = 2\) не розглядаються, оскільки вони не належать інтервалу \((-3; 2)\).
Тому точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) на рисунку відзначені світлими кружечками.
 
lineara3.png
 
Розглядаючи графік лінійної функції на відрізку, можна назвати найбільше і найменше значення лінійної функції.
 
У випадку
a) y=2x+1,x3;2 маємо, що yнайб\(= 7\) і yнайм\(= -3\),
b) y=2x+1,x3;2 маємо, що ні найбільшого, ні найменшого значень лінійної функції немає, оскільки обидва кінці відрізка, у яких саме й досягалися найбільше і найменше значення, виключені з розгляду.
 
У ході побудови графіків лінійних функцій, можна ніби «підніматися в гору» або «спускатися з гірки», тобто лінійна функція або зростає або спадає.
Якщо \(k>0\), то лінійна функція  \(y = kx + m\) зростає;
якщо \(k<0\), то лінійна функція \(y = kx + m\) спадає.
 
Джерела: