Теорія:

Пряму \(l\), на якій обрано початкову точку \(О\) (початок відліку), масштаб (одиничний відрізок, тобто відрізок, довжина якого вважається рівною \(1\)) і додатний напрямок, називають координатною прямою або координатною віссю.
 
11.png
 
Кожному числу на координатній прямій відповідає єдина точка.
 
Наприклад, числу \(2\) відповідає точка \(А\), яка віддалена від початку відліку, тобто від точки \(О\), на відстань, рівну \(2\) (у заданому масштабі), і відкладена від точки \(О\) в заданому (додатному) напрямку.
Числу \(-2\) відповідає точка \(М\), яка віддалена від початку відліку, тобто від точки \(О\), на відстань, рівну \(2\) (у заданому масштабі), і відкладена від точки \(О\) в від'ємному напрямку, тобто в напрямку, протилежному заданому.
      
 
12.png
 
Правильно і зворотне, тобто точка \(N \), віддалена від точки \(О\) на відстань \(3,5\) в додатному (заданому) напрямку, відповідає числу \(3,5\), а точка \(М\), віддалена від точки \(О\) на відстань \(2\) в від'ємному напрямку, відповідає числу \(-2\).
 
Зазначені числа називають координатами відповідних точок.
Так,   точка \(A\) имеет координату \(2\);
          точка \(N\) має координату \(3,5\);
          точка \(М\) має координату \(-2\);
          точка \(О\) має координату \(0\).
Записуємо це так: \(A\)(\(2\)); \(N\)(\(3,5\)); \(М\)(\(-2\)); \(О\)(\(0\)).
 
Можна знайти відстань між двома точками на координатній прямій. Маємо дві точки: \(A (a)\) і \(B (b)\). Відстань \(AB =\)|ab|.
Використовуючи цю формулу, отримаємо
AN=|23,5|=|1,5|=1,5AM=|22|=|2+2|=4
 
Координатна пряма дає можливість вільно переходити з алгебраїчної мови на геометричну й назад.
 
1. Нехай на координатній прямій відзначено точку \(a\).
Зазначимо (зафарбуємо) на координатній прямій усі точки, розташовані праворуч від точки \(a\).
54.2.png
 
Цю множину точок (чисел) називають відкритим проміжком і позначаютьa;+.
Це характеризується нерівністю x>a, де \(x\) — будь-яка точка відкритого проміжку.
Якщо точку \(a\) приєднати до відкритого проміжку, то вийде проміжок.
54.3..png
Проміжок позначаємо a;+ і характеризуємо нерівністю xa.
 
 
2. Зазначимо (зафарбуємо) на координатної прямої усі точки, розташовані ліворуч від точки \(a\),
54.4..png
отриману множину точок (чисел) також називають відкритим проміжком, позначають ;a і характеризують нерівністю x<a.
Якщо точку \(a\) приєднати до відкритого проміжку, то також вийде проміжок.
54.5..png
Проміжок позначаємо ;a і характеризуємо нерівністю xa.
 
 
3. Відзначимо на координатній прямій точки \(a\) і \(b\), причому \(a < b\) (тобто точка \(a\) розташована на прямій ліворуч від точки\(b\)).
 54.6..png
Отриману множину точок (чисел) називають інтервалом, позначають \((a; b)\) і характеризують подвійною нерівністю \(a <x <b\).
Якщо до інтервалу \((a; b)\) додати його кінці,
54.7..png,
то вийде відрізок a;b, який характеризується нестрогою подвійною нерівністю axb.
 
 
4. Якщо до інтервалу \((a; b)\) додати один з його кінців
54.9..png 
(праворуч або ліворуч),
54.8..png
то вийде напівінтервал, який позначають a;b чи a;b і характеризують за допомогою подвійних нерівностей: ax<b і a<xb.
 
Отже, введено п'ять нових термінів: проміжок, відкритий проміжок, інтервал, відрізок, напівінтервал. Загальна їх назва — числові проміжки.
Сама координатна пряма — також числовий проміжок, який позначають
;+.
 
Джерела: