Теорія:

Математична модель — це спосіб опису реальної життєвої ситуації (завдання) за допомогою математичної мови.
Уявімо таку ситуацію: у школі три сьомих класи. 
У \(7А\) вчаться \(15\) дівчаток і \(13\) хлопчиків, 
у \(7Б\) вчаться \(12\) дівчаток і \(12\) хлопчиків, 
у \(7В\) вчаться \(9\) дівчаток і \(18\) хлопчиків.
 
Відповідаючи на питання, скільки учнів у кожному із сьомих класів, доведеться тричі здійснювати одну й ту саму операцію складання:
у \(7А\)      15+13=28 учнів;
у \(7Б\)      12+12=24 учні;
у \(7В\)      9+18=27 учнів.
 
Використовуючи математичну мову, можна всі ці три різні ситуації об'єднати: у класі вчаться \(a\) дівчаток і \(b\) хлопчиків. Значить, усього учнів \(a + b\).
Така математична модель даної реальної ситуації.
 
У наступній таблиці наведено різні реальні ситуації та їх математичні моделі; при цьому \(a\) — число дівччинок у класі, \(b\) — число хлопчиків у тому ж класі.
Реальна ситуаціяМатематична модель
1У класі дівччинок і хлопчиків порівну (як у \(7Б\))
\(a = b\)
2Дівччинок на \(2\) більше, ніж хлопчиків (як у \(7А\))
\(a – b = 2\)
чи \(a = b + 2\)
чи \(a – 2 = b\)
3Дівчинок на \(9\) меньше, ніж хлопчиків (як у \(7В\))
\(b – a = 9\)
чи \(b = a + 9\)
чи \(a = b - 9\)
 
Навіщо потрібна математична модель реальної ситуації, що вона дає, окрім короткого виразного запису?
Щоб відповісти на це питання, розв'яжемо таку задачу.
Приклад:
У класі дівччинок удвічі більше, ніж хлопчиків. Якщо з цього класу підуть три дівчинки та прийдуть три хлопчики, то дівчинок буде на \(4\) більше, ніж хлопчиків. Скільки учнів у даному класі?
Розв'язання:
Нехай \(x\) — число хлопчиків у класі, тоді \(2x\) — число дівчинок. Якщо підуть три дівчинки, то залишиться \((2x-3)​​\) дівчинок. Якщо прийдуть три хлопчика, то стане \((x +3)\) хлопчиків. За умовою дівчаток буде тоді на \(4\) більше, ніж хлопчиків; математичною мово. це записується так:
2x3x+3=4.
Це рівняння — математична модель задачі. Використовуючи відомі правила розв'язання рівнянь, послідовно отримуємо:
2x3x+3=42x3x3=4x6=4x=10
Тепер ми можемо відповісти на питання завдання: у класі \(10\) хлопчиків, а значить, \(20\) дівчинок, оскільки їх було вдвічі більше.
Відповідь: у класі всього \(30\) учнів.
 
Можна помітити, що в ході розв'язаня було виділено три етапи міркувань.
 
Перший етап. Складання математичної моделі.
Було введено змінну \ (x \) і текст завдання перекладено математичною мовою, тобто було складено математичну модель задачі у вигляді рівняння
2x3x+3=4.
 
Другий етап. Робота з математичною моделлю.
Тут було розв'язано рівняння до простої відповіді
\(x=10\).
 
Третій етап. Відповідь на питання завдання.
Використовуючи отриманий на другому етапі розв'язання, відповіли на питання завдання.
 
Розглянуту в прикладі математичну модель називають алгебраїчною моделлю.
 Завдання.
Побудувати графік температури повітря, якщо відомо, що температуру вимірювали протягом доби і за результатами вимірювання склали таку таблицю:
Час доби, год\(0\)\(2\)\(4\)\(6\)\(8\)\(10\)\(11\)\(14\)\(16\)\(18\)\(22\)\(24\)
Температура, °C\(5\)\(0\)\(0\)\(-3\)\(-4\)\(-2\)\(0\)\(6\)\(8\)\(5\)\(3\)\(3\)
 
Розв'язання:
Побудуємо прямокутну систему координат. По горизонтальній осі (вісь абсцис) будемо відкладати значення часу, а по вертикальній осі (вісь ординат) - значення температури. Побудуємо на координатній площині точки, координатами яких є відповідні числа з таблиці. Усього виходить \(12\) точок.
 
7kl.png
 
Поєднавши їх плавною лінією, отримаємо один з можливих графіків температури.
 
7kl.1.png
 
Побудований графік є математичною моделлю, що описує залежність температури від часу. Аналізуючи цей графік, можна описати словами, що відбувалося з температурою повітря протягом доби.
Розглянуту в прикладі математичну модель називають графічною моделлю. 
Отже, математичні моделі бувають:
1) словесні — реальні ситуації описують словами;
2) алгебраїчні — у вигляді рівностей зі змінними, у вигляді рівнянь (як у першому прикладі);
3) графічні — у вигляді графіків залежності змінних;
4) геометричні — вивчаються в курсі геометрії.
Важливо для розв'язання завдань навчитися переходити від однієї моделі до іншої. Так, у першому прикладі, від словесної моделі перейшли до алгебраїчної моделі, а в другому прикладі — від словесної моделі перейшли до графічної моделі.
Джерела: