Теорія:

Метод виділення повного квадрата заснований на використанні формул:
a2+2ab+b2=a+b2a22ab+b2=ab2

Виділення повного квадрата — це таке тотожне перетворення, 
за якого заданий тричлен представляється у вигляді
  a±b2 —
суми або різниці квадрата двочлена та деякого числового або літерного вираження.
Розв'язати рівняння x 214x + 45 = 0 .
Вирішення:
Розкладемо многочлен на множники методом виділення повного квадрата. Для застосування першої формули необхідно отримати вираз
Приклад:
x2+ 14x + 49 = 0.
Тому додамо й віднімемо від многочлена x2+ 14x + 45 число \(4\), щоб виділити повний квадрат.
 x 214x + 45+44 =0  x 214x + 45+44=0x 214x + 494=0x+724=0
Застосуємо формулу різниці квадратів: a2b2=aba+b
 x+7222=0x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0x + 5 ) ( x + 9 ) = 0x + 5 = 0             x + 9 = 0x1 = – 5                   x2 = – 9
Відповідь: \(– 9; – 5.\)
 
Приклад:
Розв'язати рівняння x2  6x  7 = 0
Розв'язання:
Виділимо в лівій частині повний квадрат.
Для застосування другої формули необхідно отримати вираз:
x2  6x +9 = 0.
Тому запишемо вираз x2  6x у такому вигляді:x26x =x22x3.
В отриманому виразі перший доданок – квадрат числа \(x\), а другий – подвоєний добуток \(x\) на \(3\).
Щоб здобути повний квадрат, треба додати 32.
Отже, додамо й віднімемо в лівій частині рівняння 32, щоб виділити повний квадрат.
x2  6x  7 = x2  2 x 3 + 32  32  7 = (x2  2 x 3 + 32  32  7 ==(x  3)2  9  7 = (x  3)2  16.
Підставимо в рівняння і застосуємо формулу a2b2=aba+b.
(x 3)216=0(x 3)2=16x 3=4x 3= 4x=3+4x = 34x1=7x2= 1
Відповідь:\(– 1; 7.\)