Теорія:

Якщо дано два лінійних рівняння з двома змінними \(x\) і \(y\):
a1x+b1y+c1=0 і a2x+b2y+c2=0, — і поставлено завдання знайти такі пари значень \((x; y)\), які одночасно задовольняють і першому, і другому рівнянню, то говорять, що задані рівняння утворюють систему рівнянь.
Рівняння системи записують одне під другим і об'єднують спеціальним символом — фігурною дужкою:
a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0.
Пару значень \((x; y)\), яка одночасно є розв'язком і першого, і другого рівнянь системи, називають розв'язком системи.
Вирішити систему — це означає знайти всі її розв'язки або встановити, що їх немає.
Приклад:
Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь
x+2y5=0,2x+4y+3=0.
 
Графіком рівняння x+2y5=0 є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) і \(y\), що задовольняють цьому рівнянню.
\(x\)\(5\)\(0\)
\(y\)\(0\)\(2,5\)
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l1, яка проходить через ці дві точки.
 
Графіком рівняння 2x+4y+3=0 також є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) і \(y\), що задовольняють цьому рівнянню.
\(x\)\(-1,5\)\(2,5\)
\(y\)\(0\)\(-2\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l2 , що проходить через ці дві точки.
 
lineara17.png
 
Прямі l1 і l2 паралельні, значить, система не має рішень, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій з побудованих прямих.
Відповідь: система не має рішень.
 
Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:
2xy5=0,2x+y7=0.
 
Побудуємо графіки рівнянь системи, приведемо кожне рівняння до вигляду лінійної функції. Отримаємо з першого рівняння \(y = 2x - 5\) і з другого рівняння \(y = -2x + 7\).
 
Графіком рівняння \(y = 2x - 5\) є пряма.
 
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) і \(y\), що задовольняють цьому рівнянню.
\(x\)\(0\)\(3\)
\(y\)\(-5\)\(1\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l1, яка проходить через ці дві точки.
Графіком рівняння \(y =-2x +7\) також є пряма.
 
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) і \(y\), що задовольняють цьому рівнянню.
 
\(x\)\(0\)\(1\)
\(y\)\(7\)\(5\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l2 , що проходить через ці дві точки.
 
lineara18.png
Прямі l1 і l2 перетинаються в точці \(A\), координати якої — єдиний розв'язок заданої системи. 
Відповідь: \((3;1)\)
 
Для розв'язання цих двох прикладів застосовувався графічний метод рішення системи лінійних рівнянь.
  
Але цей метод не дуже надійний, оскыльки координати точки перетину за кресленням не завжди легко визначити.
Але все-таки графічний метод рішення системи лінійних рівнянь дуже важливий.
  
Застосовуючи його, можна дійти таких висновків:
 
1. Прямі, які є графіками рівнянь можуть перетинатися в одній точці, координати якої — єдиний розв'язок заданої системи.
 
2. Прямі можуть бути паралельні, значить, система не має рішень (система несумісна),
 
3. Прямі можуть збігатися, значить, система має нескінченну безліч рішень (система невизначена).
Джерела: