Теорія:

Терміни раціональне число, ірраціональне число походять від латинського слова ratio — розум
(буквальний переклад: «раціональне число — розумне число», «ірраціональне число — нерозумне число»; втім, так говорять і в реальному житті: «він поступив раціонально» — це означає, що він вчинив розумно; «Так діяти нераціонально» — це означає, що так діяти нерозумно).

Ірраціональним числом називають нескінченний десятковий неперіодичний дріб.

Якщо натуральне число \(n\) не є точним квадратом, тобто nk2, де k, то  n — ірраціональне число.

Приклад:

5=2,23606798...11=3,31662479...

Ірраціональні числа зустрічаються не тільки при добуванні квадратного кореня, а і в багатьох інших випадках, у чому ви не раз переконаєтеся в старших класах.

Якщо довжину будь-якої окружності розділити на її діаметр, то в діленому вийде ірраціональне число \(3,141592 ...\). Для цього числа в математиці введено спеціальне позначення π (буква грецького алфавіту «пі»; версія походження цього поняття така: із літери π починається грецьке слово периферія — окружність). Ірраціональність числа π була доведена в \(1766\) р. німецьким математиком І. Ламбертом.

Отже,

1. Будь-яка арифметична операція над раціональними числами (крім ділення на \(0\)) призводить в результаті до раціонального числа.

2. Арифметична операція над ірраціональними числами може призвести в результаті як до раціонального, так і до ірраціонального числа.

3. Якщо в арифметичній операції беруть участь раціональне й ірраціональне числа, то в результаті вийде ірраціональне число (крім множення і ділення на \(0\)).

4. Оскільки операція добування квадратного і кубічного кореня з позитивного числа часто призводить до ірраціональних чисел, умовилися алгебраїчний вираз, в якому присутня операція добування квадратного і кубічного кореня із змінної, називати ірраціональним виразом.

Джерела: