Теорія:

Деякі символи математичної мови
Тобі добре відомі натуральні числа: \(1, 2, 3, 4...\).
Множину всіх натуральних чисел зазвичай позначають буквою .
 
Якщо до натуральних чисел приєднати число \(0\) і всі цілі негативні числа: \(-1,-2,-3,-4, ...,\) — то вийде множина цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .
 
Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби: 23;12;83 і т. д., — то вийде множина раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .
 
Будь-яке ціле число \(m\) можна записати у вигляді дробу m1, тому справедливо твердження про те, що безліч  раціональних чисел - це безліч, що складається з чисел виду mn;mn, де \(m, n\) — натуральні числа і число \(0\).
 
Використовуючи введені позначення , , , домовимося про таке:
1. Замість фрази «\(n\) - натуральне число» можна писати n (читається: «елемент\(n\) належить множині »).
2. Замість фрази «\(m\) - ціле число» можна писати m.
3. Замість фрази «\(r\) - раціональне число» можна писати r.
 
Зрозуміло, що  — частина множини , а  — частина множини . Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: ,.
Зверни увагу!
Математичний символ  називають знаком приналежності (елемент належить множині).
Математичний символ  називають знаком включення (одна множина міститься в іншій).
 
Взагалі, в математиці запис xX означає, що \(x\) — один з елементів множини \(X\). Запис AB означає, що множина \(A\) являє собою частину множини \(B\). Математики частіше кажуть так: \(A\) — підмножина множини \(B\).
Зверни увагу!
Множини в математиці зазвичай позначають прописними буквами, а елементи множини - малими буквами.
А як записати, що елемент \(x\) не належить множині \(X\) або що множина \(A\) не є частиною (підмножиною) множини \(B\)? Використовують ті ж символи, але перекреслені косою рисою: xX;AB.
Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби
Для всіх цих чисел можна використовувати один і той же спосіб запису, який ми зараз і обговоримо.
Розглянемо, наприклад, ціле число \(5\), звичайний дріб 722 і десятковий дріб \(8,377\).
 
Ціле число \(5\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(5,0000 ...\) Десятковий дріб \(8,377\) також можна записати в вигляді нескінченного десяткового дробу: \(8,377000 ...\) Для числа 722 скористаємося методом «ділення кутом»:
 scot.png
Як бачиш, починаючи з другої цифри після коми відбувається повторення однієї і тієї ж групи цифр: \(18, 18, 18, ...\). Таким чином, 722\(= 0,3181818...\) . Коротше це записують так: \(0,3(18)\).
Повторювану групу цифр після коми називають періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.
Між іншим, і число \(5\) можна представити у вигляді нескінченного десяткового дробу. Для цього треба в періоді записати число \(0\):
\(5 = 5,00000... = 5,(0)\).
Зверни увагу!
Взагалі, будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
Цей висновок зручний для теорії, але не дуже зручний для практики. Адже якщо дано кінцевий десятковий дріб \ (8,377 \), то навіщо потрібен його запис у вигляді 8,377 (0)?
 
Тому зазвичай говорять так: будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
 
Вище ми показали, як звичайну дріб представляють у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Вірно і зворотне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу.
Це значить, що будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб є раціональним числом.
Джерела: