Теорія:

Отже, ми розглянули функцію y=kx для випадку, коли \(k = 1\). Нехай тепер \(k\) - позитивне число, відмінне від \(1\), наприклад \(k = 2\).
Розглянемо функцію y=2x і складемо таблицю значень цієї функції:
\(x\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(-2\)\(4\)12\(-4\)\(-\)12
\(y\)\(2\)\(1\)\(-2\)\(-1\)12\(4\)\(-\)12\(-4\)
 
Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок; проводимо її.
 
1_5.png
 
Як і графік функції y=1x, цю лінію називають гіперболою.
Розглянемо тепер випадок, коли \(k < 0\); нехай, наприклад, \(k = - 1\). Побудуємо графік функції y=1x (тут \(k = - 1\)).
Графік функції \(y = -f(x)\) симетричний графіку функції \(y = f (x)\) щодо осі \(x\). Зокрема, це означає, що графік функції \(y = - f (x)\) симетричний графіку функції \(y = f (x)\) щодо осі \(x\). Зокрема, це означає, що графік функції y=1x, симетричний графіку y=1x відносно осі абсцис. Таким чином, ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.
 
1_6.png
 
Взагалі, графіком функції y=kx, k0 є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо \(k> 0\), і в другому і четвертому координатних кутах, якщо \(k < 0\).
Точка \((0; 0)\) — центр симетрії гіперболи, осі координат — асимптоти гіперболи.
Зазвичай кажуть, що дві величини \(x\) і \(y\) зворотно пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням \(xy = k\) (де \(k\) - число, відмінне від \(0\)), або, що те ж саме, y=kx.
З цієї причини функцію y=kx називають іноді зворотної пропорційністю (за аналогією з функцією \(y = kx\), яку називають прямою пропорційністю).
 
Число \(k\) - коефіцієнт зворотної пропорційності.
Властивості функції y=kx при \(k > 0\)
Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу
 
1_3.png
 
1. Область визначення функції складається з усіх чисел, крім \(x = 0\).
2. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
3. Функція зростає на проміжках ;0 и 0;+;
4. Функція не обмежена ні знизу, ні зверху.
5. Ні найменшого, ні найбільшого значень у функції немає.
6. Функція неперервна на проміжках ;0 и 0;+ і зазнає розрив при \(x = 0\).
7. Область значень - об'єднання двох відкритих променів ;00;+.
Властивості функції y=kx при \(k < 0\)
Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу
 
1_7.png
 
1. Область визначення функції складається з усіх чисел, крім \(x = 0\).
2. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
3. Функція зростає на проміжках ;0 и 0;+;
4. Функція не обмежена ні знизу, ні зверху.
5. Ні найменшого, ні найбільшого значень у функції немає.
6. Функція неперервна на проміжках ;0 и 0;+ і зазнає розрив при \(x = 0\).
7. Область значень - об'єднання двох відкритих променів ;00;+.
Джерела: