Теорія:

Функція y=kx
Ми познайомимося з новою функцією - функцією y=kx.
Коефіцієнт \(k\) може приймати будь-які значення, крім \(k = 0\). Розглянемо спочатку випадок, коли \(k = 1\); таким чином, спочатку мова піде про функцію y=1x.
 
Щоб побудувати графік функції y=1x, дамо незалежної змінної \(x\) кілька конкретних значень і обчислимо (по формулі y=1x) відповідні значення залежної змінної \(y\). Правда, на цей раз зручніше проводити обчислення і побудови поступово, спочатку надаючи аргументу тільки позитивні значення, а потім - тільки негативні.
 
Перший етап. Якщо \(x = 1\), то \(y = 1\) (нагадаємо, що ми користуємося формулою y=1x);
якщо \(x = 2\), то y=12;
якщо \(x = 4\), то y=14;
якщо \(x = 8\), то y=18;
якщо x=12, то \(y = 2\);
якщо x=14, то \(y = 4\);
якщо x=18 , то \(y = 8\).
 
Коротше кажучи, ми склали наступну таблицю:
 
\(x\)\(1\)\(2\)\(4\)\(8\)121418
\(y\)\(1\)121418\(2\)\(4\)\(8\)
 
Побудуємо знайдені точки на координатній площині \(xOy\).
 
1_1.png
 
Другий етап.
якщо \(x = -1\), то \(y = -1\);
якщо \(x = -2\), то y=12;
якщо \(x= -4\), то y=14;
якщо \(x = -8\), то y=18;
якщо x=12, то \(y = -2\);
якщо x=14, то \(y = -4\);
якщо x=18, то \(y = -8\).
 
Коротше кажучи, ми склали наступну таблицю:
\(x\)\(-1\)\(-2\)\(-4\)\(-8\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18
\(y\)\(-1\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18\(-2\)\(-4\)\(-8\)
 
Побудуємо знайдені точки на координатній площині \(xOy\).
 
1_2.png
 
А тепер об'єднаємо два етапи в один, тобто з двох малюнків зробимо один.
 
1_3.png
 
Це і є графік функції y=1x, його називають гіперболою.
Спробуємо за кресленням описати геометричні властивості гіперболи.
 
По-перше, помічаємо, що ця лінія виглядає так само красиво, як парабола, оскільки володіє симетрією. Будь-яка пряма, через початок координат \(O\) і розташована в першому і третьому координатних кутах, перетинає гіперболу в двох точках, які лежать на цій прямій по різні сторони від точки \(O\), але на рівних відстанях від неї. Це притаманно, зокрема, точкам \((1; 1)\) та \((- 1; - 1)\), 2;12 та 2;12 і т. д.
 
Отже, \(O\) — центр симетрії гіперболи. Кажуть також, що гіпербола симетрична відносно початку координат.
По-друге, бачимо, що гіпербола складається з двох симетричних щодо початку координат частин; їх зазвичай називають гілками гіперболи.
 
По-третє, помічаємо, що кожна гілка гіперболи в одному напрямку підходить все ближче і ближче до осі абсцис, а в іншому напрямку - до осі ординат. В подібних випадках відповідні прямі називають асимптотами.
Отже, графік функції y=1x, тобто гіпербола, має дві асимптоти: вісь \(x\) та вісь \(y\).
Якщо уважно проаналізувати побудований графік, то можна виявити ще одну геометричну властивість, що не така очевидна, як три попередніх (математики звичайно говорять так: «більш тонка властивість»).
 
Зверни увагу!
У гіперболи мається не тільки центр симетрії, а й осі симетрії.
Справді, побудуємо пряму \(y = x\).
 
1_4.png
 
Тепер дивіться: точки 2;12та12;2 розташовані по різні сторони від проведеної прямої, але на рівних відстанях від неї. Вони симетричні, відносно цієї прямої. Теж можна сказати про точки 4;14та14;4,8;18та18;8 і т.д.  Отже, пряма \(y =x\) — вісь симетрії гіперболи y=1x ( так само як і \(y = -x\)).
Джерела: