Теорія:

Властивості функцій y=kx2 при \(k > 0\)
Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — параболу
 
geom_mod.png
 
1. Так як для будь-якого значення \(x\) за формулою y=kx2 можна обчислити відповідне значення \(y\), то функція визначена в будь-якій точці \(x\) (при будь-якому значенні аргументу \(x\)).
 
Коротше це записують так: область визначення функції є ;+, тобто вся координатна пряма.
 
2. \(y = 0\) при \(x = 0\); \(у > 0\) при x0. Це видно і з графіку функції (він весь розташований вище осі \(x\)), але можна обґрунтувати і без допомоги графіка: якщо x0, тоді kx2>0 як добуток двох позитивних чисел \(k\) і x2.
 
3. y=kx2 — неперервна функція.
 
4.  yнайм=0 (досягається при \(х = 0\)); yнайб не існує.
 
5. Функція y=kx2 зростає при x0 та убуває при x0.
 
В 7 класі процес перерахування властивостей функції ми називали читанням графіка. Процес читання графіка буде у нас поступово ставати все більш насиченим і цікавішим - у міру вивчення нових властивостей функцій. Ті п'ять властивостей, які перераховані вище, ми обговорювали в 7-му класі для вивчених там функцій. Додамо одну нову властивість.
Функцію \(у = f(x)\) називають обмеженою знизу, якщо всі значення функції більше деякого числа. Геометрично це означає, що графік функції розташований вище деякої прямої, паралельної осі \(x\).
А тепер подивись: графік функції y=kx2 розташований вище прямої \(у = -1\) (або \(у = - 2\), це неважливо) — вона проведена на малюнку.
 
geom_mod1.png
 
Значить, y=kx2 \((k > 0)\) — обмежена знизу функція.   
 
Поряд з функціями, обмеженими знизу, розглядають і функції, обмежені зверху.
Функцію \(у = f(x)\) називають обмеженою зверху, якщо всі значення функції менше деякого числа. Геометрично це означає, що графік функції розташований нижче деякої прямої, паралельної осі \(x\).
Чи мається така пряма для параболи y=kx2, де \(k > 0\)? Ні. Це значить, що функція не є обмеженою зверху.
 
Отже, ми отримали ще одну властивість, додамо її до тих п'яти, що вказані вище.
 
6. Функція y=kx2 \((k > 0)\) обмежена знизу і не обмежена зверху.
 
7. Область значень функції y=kx2 \((k>0)\) — промінь 0;+.
 
8. Функція випукла вниз.
Властивості функції y=kx2 при \(k < 0\)
При описі властивостей цієї функції ми спираємося на її геометричну модель — параболу
 
geom_mod3.png
 
1.Область визначення функції ;+.
2. \(у = 0\) при \(х = 0\); \(у < 0\) при x0.
З. y=kx2 — неперервна функція.
4. yнайб=0 (досягається при \(х = 0)\), yнайм не існує.
5. Функція зростає при x0, убуває при x0.
6. Функція обмежена зверху і не обмежена знизу.
7. Область значень функції y=kx2 \((k<0)\) - промінь ;0.
 
Використаний вище порядок ходів при перерахуванні властивостей функції не є законом, поки він склався хронологічно саме таким.
Джерела: