Теорія:

Функція y=kx2 та її графік
У 7-му класі ми вивчали функції \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), y=x2 і прийшли в результаті до висновку про те, що рівняння з двома змінними виду \(у = f(x)\) (функція) є математична модель, зручна для того, щоб, задавши конкретне значення незалежної змінної \(x\) (аргументу), обчислити відповідне значення залежної змінної \(y\).
 
Насправді функція y=kx2 в одному випадку нам трохи знайома. Дивися: якщо \(k = 1\), то отримуємо y=x2; цю функцію ми вивчили в 7-му класі і ти, напевно, пам'ятаєш, що її графіком є парабола.
 
parabola.png
 
Обговоримо, що відбувається при інших значеннях коефіцієнта \(k\).
Розглянемо дві функції: y=2x2 та y=0.5x2. Складемо таблицю значень для першої функціїy=2x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(1.5\)\(-1.5\)
\(y\)\(0\)\(2\)\(2\)\(8\)\(8\)\(4.5\)\(4.5\)
 
Побудуємо точки \((0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)\) на координатній площині; вони намічають деяку лінію, проводимо її.
 
1.png
 
Складемо таблицю значень для другої функції y=0.5x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(0.5\)\(0.5\)\(2\)\(2\)\(4.5\)\(4.5\)
 
Побудуємо точки \((0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5)\) на координатній площині; вони намічають деяку лінію, проводимо її.
 
2.png
 
Порівняй отримані малюнки. Чи не правда, проведені лінії схожі? Кожну з них називають параболою.
Точку \((0; 0)\) називають вершиною параболи, а вісь \(y\) — віссю симетрії параболи.
Зверни увагу!
Від величини коефіцієнта \(k\) залежить «швидкість прагнення» гілок параболи вгору або, як ще кажуть, «ступінь крутизни» параболи.
Точно так само з будь-якої іншої функцією виду y=kx2, де \(k > 0\).
Графіком її є парабола з вершиною в початку координат, гілки параболи спрямовані вгору, причому тим крутіше, чим більше коефіцієнт \(k\).
Вісь \(y\) є віссю симетрії параболи.
 
Доречі, заради стислості промови математики часто замість довгої фрази «парабола, що служить графіком функції y=kx2», говорять «парабола y=kx2», а замість терміна «вісь симетрії параболи» використовують термін «вісь параболи».
 
Ти помічаєш, що мається аналогія з функцією \(у = kx\)?
Якщо \(k > 0\), то графіком функції \(у = kx\) є пряма, через початок координат (пам'ятаєш, ми говорили коротко: пряма \(у = kx\)), причому і тут від величини коефіцієнта \(k\) залежить «ступінь крутизни» прямої. Це добре видно на малюнку, де в одній системі координат зображені графіки лінійних функцій \(у = kx\) при трьох значеннях коефіцієнта \(k\).
 
3.png
 
Повернемося до функції y=kx2. З'ясуємо, як є справа у випадку негативного коефіцієнта \(k\). Побудуємо, наприклад, графік функції y=x2 (тут \(k = -1\)). Складемо таблицю значень:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(-1\)\(-1\)\(-4\)\(-4\)\(-9\)\(-9\)
 
Побудуємо точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9)\) на координатній площині; вони намічають деяку лінію, проводимо її.
 
minpar.png
 
Це парабола з вершиною в точці \((0; 0)\), вісь \(y\) — вісь симетрії, але на відміну від випадку, коли \(k> 0\), на цей раз гілки параболи спрямовані вниз. Аналогічно йде справа і для інших негативних значень коефіцієнта \(k\).
 
Зверни увагу!
Отже, графіком функції y=kx2 k0 є парабола з вершиною на початку координат; вісь \(y\) є віссю параболи; гілки параболи спрямовані вгору при \(k > 0\) і вниз при \(k < 0\).
Відзначимо ще, що парабола y=kx2 доторкається до осі \(x\) в точці \((0; 0)\), тобто одна гілка параболи плавно переходить в іншу, як би притискаючись до осі \(x\).
 
Если побудуваті в одній сістемі координат графіки функцій  y=kx2 та y=x2, то неважко помітити, що ці параболи симетричні одна одній щодо осі \(x\), що добре видно на малюнку.
 
5.png
 
Так само симетричні одна одній щодо осі \(x\) параболи y=2x2 та  y=2x2.
 
6.png
 
Зверни увагу!
Взагалі, графік функції \(у = -f(x)\) симетричний графіку функції \(у = f(x)\) щодо осі абсцис.
Джерела: