Теорія:

Перший спосіб.
Будують графік функції y=ax2+bx+c і знаходять точки його перетину з віссю \(x\).
 
1_1.png
 
Другий спосіб.
Перетворюють рівняння до виду ax2=bxc, будують параболу y=ax2 і пряму \(y = -bx - c\), знаходять точки їх перетину (коренями рівняння служать абсциси точок перетину, якщо такі є).
 
1_2.png
 
Третій спосіб.
Перетворюють рівняння до виду ax2+c=bx, будують параболу y=ax2+c і пряму \(y = -bx\) (вона проходить через початок координат); знаходять точки їх перетину.
 
1_3.png
 
Четвертий спосіб.
Застосовуючи метод виділення повного квадрата, перетворять рівняння до виду ax+l2+m=0 і далі ax+l2=m.
Будують параболу y=ax+l2 і пряму \(y = - m\), паралельну осі \(x\); знаходять точки перетину параболи і прямої.
 
1_4.png
 
П'ятий спосіб.
Перетворюють рівняння до виду  ax2x+bxx+cx=0, тобто ax+b+cx=0 далі cx=axb.
Будують гіперболу y=cx (це гіпербола за умови, що c0) і пряму \(y = - ax - b\); знаходять точки їх перетину.
1_5.png
 
Зауважимо, що перші чотири способи застосовуються до будь-яких рівнянь виду ax2+bx+c=0, а п'ятий — тільки до тих, у яких c0. На практиці можна вибирати той спосіб, який тобі здається найбільш раціональним до даного рівняння або який тобі більше подобається (або більш зрозумілий).
 
Незважаючи на велику кількість способів графічного рішення квадратних рівнянь, впевненості в тому, що будь-яке квадратне рівняння ми зможемо вирішити графічно, немає. Нехай, наприклад, потрібно вирішити рівняння x2x3=0 (спеціально візьмемо рівняння, схоже на те, що було в розглянутому прикладі). Спробуємо його вирішити, наприклад, другим способом: Перетворимо рівняння до виду x2=x+3, побудуємо параболу y=x2 і пряму \(y = x + 3\).
 
1_6.png
 
Вони перетинаються в точках \(D\) та \(E\), значить, рівняння має два кореня. Але чому дорівнюють ці корені, ми за допомогою креслення сказати не можемо — точки \(D\) та \(E\) мають не такі «хороші» координати.
 
А тепер розглянемо рівняння x216x95=0. Спробуємо його вирішити, скажімо, третім способом. Перетворимо рівняння до виду x295=16x. Тут треба побудувати параболуy=x295 і пряму \(y = 16x\). Але обмежені розміри аркуша зошити не дозволяють цього зробити, адже параболу y=x2 треба опустити на \(95\) клітин вниз.
 
Таким чином, графічні способи вирішення квадратного рівняння красиві і приємні, але не дають стовідсоткової гарантії вирішення будь-якого квадратного рівняння. Врахуємо це надалі.
Джерела: