Теорія:

З квадратними рівняннями ми вже зустрічалися в курсі алгебри 7-го класу.
Квадратним рівнянням називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де \(а, b, с\) — будь-які числа (коефіцієнти), причому a0.
Використовуючи наші знання про деякі функції та їх графіки, ми вже можемо, не чекаючи систематичного вивчення теми «Квадратні рівняння», вирішувати деякі квадратні рівняння, причому різними способами; ми розглянемо ці способи на прикладі одного квадратного рівняння.
 
Виріши рівняння x22x3=0.
 
Перший спосіб.
Побудуємо графік функції x22x3=0.
1. Маємо: \(a = 1, b = -2\),x0=b2a=1,y0=f(1)=1223=4. Отже, вершиною параболи є точка \((1; -4)\), а віссю параболи — пряма \(x = 1\).
 
2. Візьмемо на осі \(x\) дві точки, симетричні відносно осі параболи, наприклад точки \(x = -1\) та \(x = 3\). Маємо \(f(-1) = f(3) = 0\). Побудуємо на координатній площині точки \((-1; 0) та (3; 0)\).
 
3. Через точки \((-1; 0), (1; -4), (3; 0)\) проводимо параболу.
 
1.png
 
Коренями рівняння x22x3=0 є абсциси точок перетину параболи з віссю \(х\); значить, корені рівняння такі: x1=1;x2=3.
 
Другий спосіб.
Перетворимо рівняння до виду x2=2x+3. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій: y=x2;y=2x+3.
 
2.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(C(- 1; 1)\) та \(D(3; 9)\). Коренями рівняння служать абсциси точок \(C\) та \(D\), отже, x1=1;x2=3.
 
Третій спосіб.
 
Перетворимо рівняння до виду x23=2x. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій: y=x23;y=2x.
 
3.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(C(-1; - 2)\) та \(D(3; 6)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(C\) та \(D\), тому x1=1;x2=3.
 
Четвертий спосіб.
Перетворимо рівняння до виду x22x+14=0 і далі x22x+1=4x12=4.
Побудуємо в одній системі координат параболу y=x12 і пряму \(y = 4\).
 
4.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(C(-1; 4)\) та \(D(3; 4)\). Коренями рівняння служать абсциси точок \(C\) та \(D\), тому x1=1;x2=3.
 
П'ятий спосіб.
Розділивши почленно обидві частини рівняння на \(x\), отримаємо
x23x=0x2=3x
Побудуємо в одній системі координат гіперболу y=3x і пряму \(y = x - 2\).
 
5.png
 
Вони перетинаються в двох точках \(A (-1; -3)\) та \(B(3; 1)\). Коренями рівняння є абсциси точок \(A\) та \(B\), отже,  x1=1;x2=3.
 
Таким чином, квадратне рівняння x22x3=0 ми вирішили графічно п'ятьма способами.
Джерела: