Теорія:

Якщо в рівнянні змінна міститься під знаком квадратного кореня, то рівняння називають ірраціональним.
Іноді математична модель реальної ситуації являє собою ірраціональне рівняння. Тому нам слід навчитися розв'язувати хоча б найпростіші ірраціональні рівняння.
 
Розглянемо ірраціональне рівняння 2x+1=3.
 
Ця рівність, за визначенням квадратного кореня, означає, що 2x+1=32. Фактично від заданого ірраціонального рівняння ми перейшли до раціонального рівняння \(2x + 1 = 9\), піднісши до квадрату обидві частини ірраціонального рівняння.
Зверни увагу!
Метод піднесення до квадрату обох частин рівняння — основний метод розв'язання ірраціональних рівнянь.
Втім, це зрозуміло: як же інакше звільнитися від знака квадратного кореня?
 
З рівняння \(2x + 1 = 9\) знаходимо \(x = 4\). Це корінь як рівняння \(2х + 1 = 9\), так і заданого ірраціонального рівняння.
 
Метод піднесення до квадрату технічно нескладний, але іноді призводить до неприємностей.
Розглянемо, наприклад, ірраціональне рівняння 2x5=4x7.
Піднісши обидві його частини до квадрату, одержимо 2x52=4x722x5=4x7.
Далі маємо: \(2x - 4x = -7 +5\);  \(x = 1\).
 
Але значення \(x = 1\), будучи коренем раціонального рівняння \(2x - 5 = 4x - 7\), не є коренем заданого ірраціонального рівняння. Чому?
Підставивши \(1\) замість \(x\) в задане ірраціональне рівняння, отримаємо 3=3.
 
Як же можна казати про виконання числової рівності, якщо і в лівій, і в правій його частині містяться вирази, які не мають сенсу?
У подібних випадках кажуть \(x = 1\) — сторонній корінь для заданого ірраціонального рівняння. Виходить, що задане ірраціональне рівняння не має коренів.
 
Сторонній корінь — не нове для тебе поняття, сторонні корені вже зустрічалися при розв'язанні раціональних рівнянь, виявити їх допомагає перевірка.
 
Для ірраціональних рівнянь перевірка — обов'язковий етап розв'язання рівняння, який допоможе виявити сторонні корені, якщо вони є, і відкинути їх (зазвичай кажуть «відсіяти»).
Зверни увагу!
Отже, ірраціональне рівняння розв'язують методом піднесення обох його частин до квадрату; розв'язавши отримане в результаті раціональне рівняння, треба обов'язково зробити перевірку, відсіявши можливі сторонні корені.
Використовуючи цей висновок, розглянемо приклад.
Приклад:
Розв'яжи рівняння 5x16=x2.
Піднесемо обидві частини рівняння 5x16=x2 до квадрату: 5x162=x22.
Перетворюємо і отримуємо
5x16=x24x+4x2+9x20=0x29x+20=0x1=5;x2=4
 
Перевірка. Підставивши \(x = 5\) у рівняння 5x16=x2, отримаємо 9=3 — вірну рівність. Підставивши \(x = 4\) у рівняння 5x16=x2, отримаємо 4=2 — вірну рівність. Значить, обидва знайдені значення — корені рівняння 5x16=x2.
Ти вже накопичив певний досвід у розв'язанні різних рівнянь: лінійних, квадратних, раціональних, ірраціональних. Ти знаєш, що при розв'язанні рівнянь виконують різні перетворення, наприклад: член рівняння переносять з однієї частини рівняння до іншї з протилежним знаком; обидві частини рівняння множать або ділять на одне і те ж відмінне від нуля число; звільняються від знаменника, тобто заміняють рівняння pxqx=0 рівнянням \(р(x)=0\); обидві частини рівняння підносять до квадрату.
 
Звичайно, ти звернув увагу на те, що в результаті деяких перетворень могли з'явитися сторонні корені, а тому доводилося бути пильними: перевіряти всі знайдені корені. Ось ми і спробуємо зараз осмислити все це з теоретичної точки зору.
Два рівняння \(f (x) = g (x)\) і \(r(x) = s (х)\) називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені (або, зокрема, якщо обидва рівняння не мають коренів).
Зазвичай при розв'язанні рівняння намагаються замінити дане рівняння більш простим, але рівносильним йому. Таку заміну називають рівносильним перетворенням рівняння.
 
Рівносильними перетвореннями рівняння є наступні перетворення:
 
1. Перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння в іншу з протилежними знаками.
Наприклад, заміна рівняння \(2x + 5 = 7x - 8\) рівнянням \(2x - 7x = - 8 - 5\) є рівносильним перетворенням рівняння. Це значить, що рівняння \(2x + 5 = 7x -8\) і \(2x - 7x = -8 - 5\)  рівносильні.
 
2. Множення або ділення обох частин рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число.
Наприклад, заміна рівняння 0,5x20,3x=2, рівнянням 5x23x=20 (обидві частини рівняння помножили почленно на \(10\)) є рівносильним перетворення рівняння.
 
Нерівносильними перетвореннями рівняння є наступні перетворення:
 
1. Звільнення від знаменників, що містять змінні.
Наприклад, заміна рівняння x2x2=4x2 рівнянням x2=4 є нерівносильним перетворенням рівняння. Справа в тому, що рівняння x2=4 має два кореня: \(2\) і \(- 2\), а заданому рівнянню значення \(x = 2\) задовольняти не може (знаменник звертається в нуль). У подібних випадках ми казали так: \(x = 2\) — сторонній корінь.
 
2. Піднесення обох частин рівняння до квадрату.
Зверни увагу!
Якщо в процесі розв'язування рівняння застосовувалося одне із зазначених нерівносильних перетворень, то всі знайдені корені треба перевірити підстановкою у вихідне рівняння, оскільки серед них можуть опинитися сторонні корені.
Джерела: