Теорія:

Раціональний вираз — це алгебраїчний вираз, складений з чисел і змінної \(х\) за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до ступеня з натуральним показником.
 
Якщо \(r(x)\) - раціональний вираз, то рівняння \(r(x)=0\) називають раціональним рівнянням.
 
Втім, на практиці зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння»: це рівняння виду \(h(x)=q(x)\), де \(h(x)\) і \(q(x)\ ) — раціональні вирази.
 
До сих пір ми могли розв'язати не будь-яке раціональне рівняння, а тільки таке, яке в результаті різних перетворень і міркувань зводилося до лінійного рівняння.
 
Тепер наші можливості значно більші: ми зуміємо розв'язати раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійного, а й до квадратного рівняння.
 
Нагадаємо, як ми розв'язували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.
Приклад:
Розв'язати рівняння 2xx3+112=3x.
Перепишемо рівняння у вигляді 2xx3+1123x=0.
При цьому, як звичайно, ми користуємося тим, що рівності \(A=B\) і \(A-B=0\) висловлюють одну і ту ж залежність між \(A\) і \(B\). Це і дозволило нам перенести член 3x в ліву частину рівняння з протилежним знаком.
Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо 2x(2xx3+11(x(x3)23(2(x3)x=2x2x+11xx36x32xx3=4x2+11x233x6x+182xx3=15x239x+182xx3=35x213x+62xx3.
 
Таким чином, ми перетворили задане рівняння до виду 35x213x+62xx3=0
 
Згадаймо умови рівності дробу нулю: ab=0 тоді, і тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:
 
1. чисельник дробу дорівнює нулю \((а=0)\);
2. знаменник дробу відмінний від нуля: b0 
 
Прирівнявши до нуля чисельник дробу в лівій частині рівняння, отримаємо
35x213x+6=05x213x+6=0x1,2=13±13245610=13±16912010=13±710x1=13+710=2;x2=13710=35=0,6

Залишилося перевірити виконання другої зазначеної вище умови. Співвідношення b0 означає для рівняння, що 2xx30x0;x3. Значення x1=2;x2=0,6 зазначеним співвідношенням задовольняють і тому служать коренями рівняння.
 
Відповідь: \(2; 0,6\).
Якщо серед коренів чисельника виявиться число, при якому знаменник дробу звертається в нуль, то таке число коренем рівняння бути не може, його називають стороннім коренем і у відповідь не включають.
 
Спираючись на розв'язаний приклад, сформулюємо наступний алгоритм.
Алгоритм розв'язання раціонального рівняння
1. Перенести всі члени рівняння в одну частину.
 
2. Перетворити цю частину рівняння до виду алгебраїчного дробу p(x)q(x)
 
3. Розв'язати рівняння \(p(x)=0\)
 
4. Для кожного кореня рівняння \(p(x)=0\) зробити перевірку: чи задовольняє він умові qx0. Якщо задовольняє, то це корінь заданого рівняння; якщо ні, то це сторонній корінь і у відповідь його включати не слід.
Джерела: