Теорія:

Раціональною нерівністю з однією змінною \(x\) називають нерівність виду \(f(x)<g(x)\), де \(f(x)\) і \(g(x)\) — раціональні вирази, тобто алгебраїчні вирази, складені з чисел, змінної \(x\) і за допомогою математичних дій,
тобто операцій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального ступеня.
 
При розв'язанні раціональних нерівностей застосовують правила, які використовуються при розв'язанні лінійних і квадратних нерівностей. 
 
За допомогою рівносильних перетворень раціональну нерівність призводять до вигляду \(h(x)<0\), де \(h(x)\) — алгебраїчний дріб або многочлен і застосовують метод інтервалів.
 
Приклад:
Розв'язати нерівність. x2+32x27x4>0
Розв'язання.
1. Знайдемо корені квадратного тричлена 2x27x4 
і розкладемо його на множники за формулою ax2+bx+c=axx1xx2
2x27x4=0D=b24ac=72424=49+32=81x1=bD2a=78122=794=24=12=0,5x2=b+D2a=7+8122=7+94=164=42x27x4=2x+0,5x42x+0,5x4=0:2x+0,5x4=0x1=0,5x2=4
 
2. Розділимо обидві частини нерівності на додатний при всіх значеннях \(x\)
вираз x2+3, при цьому знак нерівності \(>\) не зміниться.
x2+3x+0,5x4:x2+3>0:x2+3x2+3x+0,5x41x2+3>0x2+31x+0,5x4x2+3>01x+0,5x4>0
 
3.Позначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти довільно по одному значенню і підставити замість \(x\) у тричлен.
46_t01.png
На інтервалі ;0,5 візьмемо \(x=-2\), тоді 222724=24+144=18>0
На інтервалі  0,5;4 візьмемо \(x=0\), тоді 202704=004=4<0
На інтервалі 4;+ візьмемо \(x=5\), тоді 252754=225354=5039=11>0
 
Квадратний тричлен приймає додатні значення на інтервалах ;0,5 і 4;+.
 
Відповідь: ;0,5і4;+