Теорія:

Функцію y=f(x), x називають функцією натурального аргументу або числовою послідовністю і позначають \(y=f(n)\) або y1,y2,y3,...,yn, ... .
 Значення y1,y2,y3,...,yn (і т. д.) називають відповідно першим, другим, третім (і т. д.) членами послідовності.
 
У символі  yn число \(n\) називають індексом, який задає порядковий номер того чи іншого члена послідовності. Іноді для позначення послідовності використовується запис yn.

Як відомо, функція може бути задана різними способами, наприклад аналітично, графічно, словесно і т. д. Послідовності теж можна задавати різними способами, серед яких особливо важливі три: аналітичний, словесний і рекурентний.

1. Аналітичне задання послідовності

Кажуть, що послідовність задана аналітично, якщо вказана формула її \(n\)-го члена yn=f(n).

Приклад:

1. yn=n2

Це аналітичне задання послідовності \(1, 4, 9, 16, ...,\)n2, ..., про яку йшла мова вище.

2. yn=C. Це значить, що йдеться про послідовність \(C, C, C, ..., C, ...,\) яку називають стаціонарною.  
 

2. Словесне задання послідовності 

Приклад:

Послідовність простих чисел: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...\).

Послідовність задана словесно.

Знаходження аналітичного задання послідовності по її словесному опису часто буває складним (а іноді і нерозв'язним) завданням.

3. Рекурентне задання послідовності


Цей спосіб задання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити \(n\)-й член послідовності якщо відомі її попередні члени.

При обчисленні членів послідовності за цим правилом ми ніби весь час повертаємося назад, з'ясовуємо, чому дорівнюють попередні члени. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним (від лат. recurrere — повертатися).

Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє висловити \(n\)-й член послідовності через попередні, і задають один-два початкових члена послідовності.

Приклад:
y1=3;yn=yn1, якщо n=2,3,4,....
Маємо,
 y1=3;y2=y1+4=3+4=7;y3=y2+4=7+4=11;y4=y3+4=11+4=15 и т.д.

Тим самим отримуємо послідовність \(3, 7, 11, 15, ...\).

Зростаючі і спадаючі послідовності об'єднують загальним терміном — монотонні послідовності.

Послідовність yn називають зростаючою, якщо кожний її член (крім першого) більше попереднього.
 

Послідовність yn називають спадаючою, якщо кожен її член (крім першого) менше попереднього.

Джерела: