Теорія:

Послідовність (bn), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число \(q\), називається геометричною прогресією.
Якщо послідовність (bn) є геометричною прогресією, то для будь-якого натурального значення \(n\) справедлива залежність: bn+1=bnq
  
Число \(q\) називається знаменником геометричної прогресії.
Якщо у геометричній прогресії (bn) відомий перший член b1 і знаменник \(q\), то можливо знайти будь-який член прогресії.
b2=b1q
b3=b2q=b1qq=b1q2
b4=b1q3
і т.д.
 
Загальний член геометричної прогресії bn можна обчислити, використовуючи формулу:
bn\(=\)b1qn1, де 
\(n\)- порядковий номер члена прогресії,
b1- перший член послідовності,
\(q\)- знаменник.
Приклад:
Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження \(n\)-го члена, якщо b1\(=\)8 і \(q = 0,5\).
b1\(=\)8
  
b2=b1q\(=\)8 ·0,5\(=\)4
  
b3=b2q\(=\)4 ·0,5\(=\)2
  
b4=b3q\(=\)2 ·0,5\(=\)1
  
b5=b4q\(=\)1 ·0,5\(=\)0,5
 
bn\(=\)b1qn1
  
bn\(=\)80,5n1
  
Сума перших \(n\) членів геометричної прогресії
  
Суму перших \(n\) членів геометричної прогресії Sn можна знайти, якщо обчислити її члени b1, b2, \(...\), bn і потім їх значення додати.
  
Обчислюючи суму перших \(n\) членів геометричної прогресії, зручніше використовувати
1-у формулу:
Sn=bnqb1q1,  де 
\(n\)- кількість членів послідовності (порядковий номер),
b1- перший член послідовності,
bn- \(n\)-ий член послідовності, 
\(q\)- знаменник.  
 
Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2-у формулу:
Sn=b1(qn1)q1
Приклад:
Обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо b1\(= 8\) і \(q= 0,5\).  
 
I варіант
Розглянувши перший приклад, бачимо:
b1\(= 8\), b2\(=\)4, b3\(=\)2, b4\(=\)1 і b5\(=\)0,5.
Додавши п'ять цих чисел, вийде сума (перших п'яти членів послідовності):
Sn\(=\)S5\(=\)b1\(+\)b2\(+\)b3\(+\)b4\(+\)b5\(=\)8+4+2+1+0,5\(=\)15,5
  
II варіант
Використовується 1-а формула:
Sn=bnqb1q1, де
\(n = 5\)
b1\(=8\)
\(q = 0,5\)
bn\(=\)b5\(= 0,5\)     (так як \(n = 5\))
  
S5\(=\)(0,5 ·0,58)(0,51)\(=\)15,5
  
III варіант
Використовується 2-а формула:  
Sn=b1(qn1)q1
  
S5\(=\)8(0,551)0,51\(=\)З 15,5 
 
Як бачите, всі три варіанти розв'язання призводять до одного й того ж результату.  
Сума перших п'яти членів прогресії дорівнює S5\(=\)15,5.