Теорія:

Опуклий багатогранник називається правильним, якщо:
1. Усі його грані рівні правильні багатокутники;
2. У кожній його вершині сходиться одне і те ж число ребер.
 
Всі ребра правильного багатогранника рівні, а також рівні всі двогранні кути, що містять дві грані із спільним ребром.
 
Виникають питання:
1. Які правильні багатокутники можуть бути гранями правильного багатогранника?
2. Скільки граней може мати правильний багатогранник?
Не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні багатокутники, якщо число їх сторін \(6\) або більше, тобто правильні \(n\)-кутники, якщо n6.
1. У правильного \(n\)-кутника, якщоn6, кути не менш 120°.
2. У кожній вершині многогранника повинно бути не менше трьох кутів.
3. Навіть при трьох кутах сума всіх кутів вже досягає 360°.
4. Сума всіх плоских кутів при кожній вершині опуклого багатогранника менше 360°.
 
Отже, не існує правильного багатогранника, гранями якого були б правильні \(n\)-кутника, якщоn6.
Тільки правильні трикутники, чотирикутники (квадрати) і п'ятикутники можуть бути гранями правильного багатогранника.
 
Чи існують правильні багатогранники з такими гранями і скільки граней вони мають? Очевидно, менше можливе число граней — чотири.
Теорема Ейлера і правильні багатогранники
Теорема Ейлера.
У будь-якому опуклому многограннику сума числа граней і числа вершин на \(2\) більше числа ребер.
За допомогою теореми Ейлера ми можемо отримати відповідь на питання:
які правильні багатогранники можуть існувати?
 
1. Нехай кількість ребер правильного багатогранника, що виходять з однієї вершини, дорівнює \(m\), а гранями є правильні \(n\) — кутники.
 
2. Позначимо величини, що входять у формулу Ейлера \(В\) (вершини) і \(Г\) (грані) через:
\(Р\) (ребра), \(m\), \(n\), де \(n\) і \(m\) — цілі числа і \(m ≥ 3\), \(n =\) \(3;\) \(4\) \(або\) \(5\).

3. Так як кожне ребро з'єднує дві вершини, і в кожній вершині сходяться \(m\) ребер, то \(2Р=Вm\).
Тоді В=2Рm
 
4. Так як кожне ребро багатогранника міститься у двох гранях, то \(Гn = 2Р\).
Тоді Г=2Рn
 
5. Підставляючи отримані вирази для \(Г\) і \(В\) у формулу Ейлера \(Г + В - Р = 2\), отримуємо
2Рm+2РnР=2
 
6. Розділивши обидві частини рівності на \(2Р\), отримаємо
1m+1n12=1Р
 
7. Розв'яжемо це рівняння при отриманому в попередньому доведенні значенні \(n =\) \(3\) і знайдемо допустимі значення \(m\).
 1m+1312=1Р 
 
1m16=1Р
За змістом \(Р > 0\), значить \(3 ≤ m ≤5\).

Таким чином теорема Ейлера дозволяє існування наступних правильних багатогранників:
1. \(m=3, n=3, P=6, Г=4\) — тетраедр
2. \(m=3, n=4, P=12, Г=6\) — куб
3. \(m=3, n=5, P=30, Г=12\) — додекаедр
4. \(m=4, n=3, P=12, Г=8\) — октаедр
5. \(m=5, n=3, P=30, Г=20\) — ікосаедр
 
Доведено існування правильних багатогранників:
 
тетраедр із \(4\) гранями, \(6\) ребрами і \(4\) вершинами:
Tetrahedron.gif
 
куб із \(6\) гранями, \(12\) ребрами і \(8\) вершинами:
Hexahedron.gif
  
октаедр із \(8\) гранями, \(12\) ребрами і \(6\) вершинами:
Octahedron.gif
  
додекаедр із \(12\) гранями, \(30\) ребрами і \(20\) вершинами:
Dodecahedron.gif
  
ікосаедр із \(20\) гранями, \(30\) ребрами і \(12\) вершинами:
Icosahedron.gif
Джерела: