Теорія:

Конус — тіло обертання, яке виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.
Konuss.png
 
Трикутник \(POA\) обертається навколо сторони \(PO\).
\(PO\) — вісь конуса і висота конуса.
\(P\) — вершина конуса.
\(PA\) — твірна конуса.
Коло з центром \ (O \) - основа конуса.
\(AO\) — радіус основи конуса.
Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь \(PO\) конуса.
Осьовий переріз конуса — це трикутник.
\(APB\) — осьовий переріз конуса.
PAO=PBO — кути між твірними і основою конуса.
 
Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор. Довжина дуги сектора — це довжина кола основи конуса довжиною 2πR, кут розгортки бічної поверхні α.
В конусі не можна позначити кут розгортки.
На розгортці конуса не можна позначити висоту і радіус конуса.
 
Sanu_vsma.png 
 
Радіус сектора — це твірна конуса.
 
Sanu_vsma1.png
 
Таким чином, бічна поверхня конуса є частиною повного кола з радіусом \(l\):
Sбіч.=πl2α360°
 
Довжина дуги також є частиною довжини повної окружності з радіусом \(l\), але у той же час довжина дуги - це довжина окружності основи конуса з радіусом \(R\).
Порівняємо вирази довжини дуги і виразимо α через \(R\):
 
2πlα360°=2πRα=2πR360°2πl=R360°l
 
Отримуємо ще одну формулу бічної поверхні конуса, не використовується кут розгортки бічної поверхні:
 
Sбіч.=πl2R360°360°l=πRl
Зрізаний конус
Якщо провести переріз конуса площиною, перпендикулярної осі конуса, то ця площина розбиває конус на дві частини, одна з яких — конус, а іншу частину називають зрізаним конусом.
Nosk_kon1.png
 
Також зрізаний конус можна розглядати як тіло обертання, яке утворилося в результаті обертання прямокутної трапеції навколо бічної сторони (яка перпендикулярна до основи трапеції) або у результаті обертання рівнобедреної трапеції навколо висоти, проведеної через серединні точки основ трапеції.
 
Nosk_kon.png
 
OO1 — вісь конуса і висота конуса.
AA1 — твірна конуса.
Кола з центрами \(O\) і O1 — основи зрізаного конуса.
\(AO\) і A1O1 — радіуси основ конуса.
Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь OO1 конуса.
Осьовий переріз конуса — це рівнобедрена трапеція.
AA1B1B — осьовий переріз конуса.
 
Бічна поверхня визначається як різниця бічної поверхні даного конуса і відтятого конуса:
 
Sбіч.=πRPAπrPA1=πRPA1+AA1πrPA1==πRPA1+πRAA1πrPA1==πRl+πRπrPA1 
 
Так як ΔPAOΔPA1O1, то сторони їх пропорційні:
 
PAPA1=Rrl+PA1PA1=Rrrl+PA1=RPA1rl=RPA1rPA1PA1Rr=rlPA1=rlRr
 
Таким чином отримуємо формулу бічної поверхні зрізаного конуса, яка містить радіуси основ і твірну зрізаного конуса:
 
Sбіч.=πRl+πPA1Rr=πRl+πrlRrRrSбіч.=πRl+πrl=πlR+r